FUNCIONES

FUNCIONES

1. Funciòn (f):de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y.

   • El dominio de una función f es el mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que f(x) es un número real.
   • El conjunto de elementos correspondientes y en el conjunto Y se denomina rango de la función.
   • Variable es un elemento que puede tomar cualquier valor de los comprendidos en un conjunto
     • Variable independiente en una función se suele representar por x.
     • Variable dependiente en una función se suele representar por y.

2. Función real

   • Toda función de un subconjunto A de los números reales R en el conjunto R se denomina función real de variable real:
   • El subconjunto A constituye el dominio de la función, es decir, el conjunto de valores reales que tienen imagen por f.

3. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

   • Se dice que una función es inyectiva (uno a uno) si para cada valor de x en el dominio, se encuentra un valor diferente y único en el rango
   • Funciòn suprayectiva son aquellas en las que todos los valores del dominio tienen su imagen, es decir no queda un solo valor en y sin que esté relacionado por lo menos con uno de x
   • Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir un valor del dominio tiene solamente uno en el contradominio y ningún valor del contradominio sobra.

4. 2.4 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.

   • Función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
   • Una función polinomial es una función que está definida por una expresión con polinomios. Entonces una función polinomial de grado n es una función de la forma:
   • Una función racional es el cociente
     • Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante una fracción, donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.
     • La representación de este tipo de funciones viene dada por medio de una hipérbola

5. 2.5 Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

   • funciones trascendentes.
     • Una función trascendente f es una función que no es algebraica puede ser tan simple como la función potencia y xn , donde la potencia es un número irracional, suelen ser funciones trigonomitricas.
   • Funciones trigonometricas.
     • funciones trigonométricas seno y coseno tienen periodo 2pi.
     • La tangente, cotangente, secante y cosecante se definen, respectivamente, por
   • funciones logarítmicas las que tienen la ecuación y = log a x, siendo a un número positivo distinto de 1 y = log a x  x = a y , por tanto y = log a x e y = a x son funciones inversas.
     • Propiedades de la función logarítmica
       • El dominio de f es el conjunto de números reales positivos; es decir (0, infinito).
         • El rango de f es el conjunto de números reales; es decir,(-infinito,infinito)
           • La intersección x de f es (1, 0). La gráfica de f no tiene intersección y.
             • La función f es creciente sobre el intervalo para b > 1 y decreciente sobre el intervalo para 0 < b < 1.
               • El eje y, es decir, x 0, es una asíntota vertical para la gráfica de f.
                 • La función f es uno a uno.
   • función exponencial y f(x) es una función de la forma
     • El número b se denomina base y x se denomina exponente.

6. Funciones escalonadas

   • Una función escalonada es aquella función denida a trozos que en cualquier intervalo nito [a, b] en que esté denida tiene un número nito de discontinuidades x0 < x1 < · · · < xn y en cada intervalo abierto (xi , xi+1) es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos xi.
     • se puede representar de la siguiente manera:

7. Operaciones con funciones: adición, multiplicación, división y composición

   • Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales (R), entonces es posible hacer operaciones numéricas como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
     • Llamamos función SUMA de las dos funciones a la función: h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)
       • Llamamos función RESTA de las dos funciones a la función: Q(x) = (f-g)(x) = f(x) - g(x)
         • PRODUCTO de dos funciones: h(x) = (f·g)(x) = f(x) · g(x) El dominio de la función producto de las dos funciones es: Dom. h(x) = [Dom f(x) ∩ Dom. g(x)]
           • COCIENTE de dos funciones: ?(?) = ? ? (?) = ?(?) ?(?) El dominio de la función cociente de dos funciones es: Dom. h(x) = [Dom. f(x) ∩ Dom g(x)] - { x / g(x) = 0}
             • COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Dadas dos funciones reales, f(x) y g(x), se le llama función compuesta de las 2 funciones a:  (g o f)(x) = g[ f(x)] . Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).  (f o g)(x) = f[ g(x)]. Primero actúa la función g y después actúa la función f, sobre g(x)

8. Función inversa.

   • Se dice que una función es uno a uno si cada número en el rango de f se asocia con exacta- mente un número en su dominio X.
     • Sea f una función uno a uno con dominio X y rango Y. La inversa de f es la función g con dominio Y y rango X para la cual y.
       • La inversa de una función f suele escribirse
         • Propiedades de la función inversa

9. Función implícita.

   • Se denomina función implícita a aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma:

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