GAAL

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1. Semana 9

   • Espaços euclidianos
     • Esses são espaços R^n, onde n simboliza o número de dimensões do msm, vivemos num espaço R^3.
     • Subespaços
       • Um W qualquer é subconjunto de R^n se, - u,v pertencendo a W, u+v pertencer também a W. - v pertencendo a W, v por um escalar x também pertencer a W.
       • Dimensão
         • A dimensão de um subespaço é a quantidade de vetores geradores, isto é, vetores na base, assim podemos afirmar que uma base com 3 vetores, é um espaço R^3.
       • Coordenadas
         • Não finalizado!** Vemos aqui que por meio de um escalonamento dos vetores da base em forma vertical junto a um vetor que se deseja verificar sua coordenada no espaço obtemos exatamente a coordenada de formação do vetor, isto é, quantas vezes cada vetor da base é somado ou adicionado para que se chegue a seu valor. Observe o exemplo: http://prntscr.com/uslzc1
     • Base
       • A base é um conjunto de vetores geradores, se chama base pois é a partir dela que são criados todos os vetores do espaço W, Sendo base representada por S: - S deve ser gerador de W, definição dada acima. - Os vetores de S devem ser LI.
   • Combinação linear
     • A combinação linear acontece quando um vetor é combinação de dois ou mais outros vetores.
     • Independência linear
       • A independencia nada mais é que, se o vetor é combinação de outros ele é dependende (LD) caso contrário, ele será independente(LI).
       • Cálculo Sist.
         • Descobrimos se vetores são LD ou LI entre si transformando-os em um sistema de equações homogênea, se este tiver infinitas soluções é LD, se a solução for trivial(só uma solução) ele é LD. OBS* Não use calc online para isso, é meio falho  
       • Cálculo Det.
         • Outra forma de calcular é fazendo a determinante dos vetores, adicionando uns até que a matriz se torne uma matriz quadrada, nesse caso, se det = 0, é LD, caso contrário LI.
       • Interpretação
         • Se vetores são LD, eles são: - Coplanares - Paralelos a uma mesma reta
       • LI
       • LD

2. Semana 10

   • Ortogonalidade da base
     • Ortogonal
       • A base ortogonal é aquela cujo produto escalar de 2 elementos quaisquer são sempre 0.
       • Ortonormal
         • Base ortonormal é a base que é ortogonal e o produto vetorial de um elemento por ele mesmo é sempre 1, isto é, só possui vetores unitários.
         • Cálculo
           • A base ortonormal é calculada a partir da base ortogonal da seguinte forma: Sendo U o conjunto ortonormal: http://prntscr.com/uucxfz Para cálculo direto do mesmo recomendo symbolab que possui a função gram-schimidt que calcula diretamente a partir da base normal.
       • Cálculo
         • O conjunto ortogonal é calculado da seguinte forma: Seja W o conjunto ortogonal de V. http://prntscr.com/uucuza
       • Propriedades
         • A partir do cálculo do conjunto ortogonal e da checagem por meio da propriedade do produto escalar, podemos afirmar que se um conjunto é ortogonal ele em forma de matriz organizando os vetores por linhas , sua transposta é igual sua inversa, o que pode e irá facilitar nossa vida mais adiante em coordenadas. Esse também pode ser usado pra saber se um conjunto é ortogonal, apesar de me parecer muito mais difícil que o produto vetorial:  http://prntscr.com/uucwkl
   • Mudança de coordenadas
     • Por base
     • Por inclinação