MATRIZ.

MATRIZ.

1. una matriz es un bidimensional de números. De manera que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo.

   • TIPOS DE MATRICES
     • MATRIZ FILA
       • Una matriz fila esta constituida por una sola fila .
         • ejemplo de matriz fila
     • MATRIZ COLUMNA.
       • esta constituida por una sola columna.
         • ejemplo de matriz columna
     • MATRIZ RECTANGULAR.
       • La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n., siendo m el numero de columnas y n el numero de filas.
         • ejemplo de matriz rectangular
     • MATRIZ TRASPUESTA.
       • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
         • ejemplo de matriz traspuesta
           • Y CUMPLE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
             • (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At
     • MATRIZ NULA.
       • En una matriz nula todos los elementos son ceros.
         • ejemplo de matriz nula
     • MATRIZ CUADRADA.
       • La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, siendo su dimensión n x n Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
         • ejemplo de matriz cuadrada
         • TIPOS
           • Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
           • Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
           • Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
           • Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
           • Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
           • Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.
           • Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A² = A. Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado la misma matriz
           • Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A² = I. Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = −At. Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que: A · At = I.
   • OPERACIONES CON MATRICES
     • Las operaciones con matrices son la suma, la resta, la división y la multiplicación. ... La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Denominamos (m) para la dimensión de las filas y (n) para la dimensión de las columnas.
       • SUMA Y RESTA
         • La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
           • En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices. En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en: Las matrices compartan la misma dimensión. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas
             • Como hemos dicho, primero comprovamos que sean matrices de igual dimensión. En este caso, son dos matrices 2×2. A continuación, sumamos los elementos que tienen las mismas coordenadas. Por ejemplo, (d) y (h) comparten la misma posición en matrices distintas. La posición, denotada como P, para (d) y (h) es P22.
               • Cuando restamos matrices es como en álgebra común, multiplicamos por (-1) la matriz que tiene el signo de restar delante. En este caso es la matriz B.
       • MULTIPLICACION.
         • Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad. Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que: RX=XR Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
           • El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos. Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.
             • Cada elemento de la matriz queda multiplicado por el escalar z=2.
       • DIVISION.
         • La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador. División De Matrices También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2. División De Matrices Por Un Escalar Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.
   • OPERACIONES ELEMENTALES
     • Son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz. Operaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.
       • A las operaciones elementales de las filas pertenecen: transposición entre dos filas cualquieras de una matriz; multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula; adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo. Analógicamente se determinan las operaciones elementales de las columnas.
         • A las matrices A y B las denominan unas matrices equivalentes si de la matriz A a la matriz B se llega por medio de las operaciones elementales de filas y este proceso se denota A ~ B.
           • Ejemplo 1. Utilizando operaciones elementales de las filas transformar la matriz A en una matriz triangular superior, donde A = ( 4 2 0 ) 1 3 2 -1 3 10 Solución: Cambiemos de lugar la primera y la segunda fila ( 4 2 0 ) ~ ( 1 3 2 ) ~ 1 3 2 4 2 0 -1 3 10 -1 3 10 a la segunda fila sumemos la primera multiplicada por -4; a la tercera fila sumemos la primera ~ ( 1 3 2 ) ~ ( 1 3 2 ) ~ 4 + (-4)·1 2 + (-4)·3 0 + (-4)·2 0 -10 -8 -1 + 1 3 + 3 10 + 2 0 6 12 dividamos la segunda fila por -2, la tercera fila la dividamos por 6 ~ ( 1 3 2 ) ~ ( 1 3 2 ) ~ 0 -10/(-2) -8/(-2) 0 5 4 0 6/6 12/6 0 1 2 cambiemos de lugar la segunda y la tercera fila ~ ( 1 3 2 ) ~ 0 1 2 0 5 4 sumemos la tercera fila a la segunda multiplicada por -5 ~ ( 1 3 2 ) ~ ( 1 3 2 ) 0 1 2 0 1 2 0 5 + (-5)·1 4 + (-5)·2 0 0 -6

2. FABIAN CAMILO SOLANO

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