Vectores

Vectores

1. Características de un vector

   • Dirección: Definida como la recta sobre la cual se traza el vector, continuada infinitamente en el espacio.
   • Sentido: Representado por la punta de la flecha que gráficamente representa al vector, indica el lugar geométrico hacia el cual se dirige el vector.
   • Punto de aplicación: Correspondiente al lugar o punto geométrico en donde inicia el vector gráficamente.
   • Nombre o denominación: Representado mediante una letra que acompaña al vector gráficamente representado, y que coincide con la magnitud que expresa o con la suma de los puntos de inicio y fin de su valor.
   • Magnitud: la magnitud en un vector indica el valor numérico del vector a través de una unidad medida
   • Norma: Es la distancia que hay del punto (0,0) al punto (a,b)…|(|u|)|=√(a^2+b^2 )

2. Tipos de vectores

   • Vectores libres: Aquellos que no poseen un punto de aplicación particular.
   • Vectores deslizantes: Aquellos cuyo punto de aplicación puede ser uno cualquiera a lo largo de la recta de aplicación.
   • Vectores fijos o ligados: Aquellos que poseen un único y determinado punto de aplicación.
   • Vectores angulares o concurrentes: Aquellos que forman ángulos respecto de sus líneas de acción o direcciones.
   • Vectores opuestos: Aquellos que poseen igual magnitud, pero sentido contrario.
   • Vectores colineales: Aquellos que comparten recta de acción.
   • Vectores paralelos: Aquellos cuyas líneas de acción sean, justamente, paralelas.
   • Vectores coplanarios: Aquellos cuyas rectas de acción estén situadas en un mismo plano.
   • Vectores unitarios: Son los vectores que su modulo es igual a 1.
   • Vectores base: En R^3contamos 3 vectores unitarios que van en la misma dirección.

3. Definición geométrica

   • El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina representación del vector, un vector en el plano es una pareja ordenada de números reales (a, b).
     • Operaciones entre vectores: Suma, resta, multiplicación de un escalar por un vector
     • Ángulos directores: Se llaman ángulos directores de un vector V, con componentes (V1, V2, V3),a los cosenos de los ángulos que la misma forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z, respectivamente ángulos directores.
     • Producto vectorial: Se llama producto vectorial o producto de vectores, u y w el vector.
     • Producto punto: Dados dos vectores u y v de 〖IR〗^n, definimos u*v, el producto escalar entre u y v como el escalar que obtenemos al sumar los productos de los componentes de u con las respectivas componentes de v.

4. Matriz

   • Tipos de matriz
     • Matriz fila
     • Matriz columna
     • Matriz rectangular
     • Matriz transpuesta Dada una matriz A se define la matriz compuesta A^T la transpuesta como aquella que cambia las filas por columnas o las columnas por filas.
     • Matriz inversa Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso de la determinante de la matriz por la matriz adjunta transpuesta. En otras palabras, una matriz inversa es la multiplicación de inverso del determinante por la matriz adjunta transpuesta
       • Métodos mas usados para calcular la matriz inversa. Método de Gaus Método de la adjunta
   • Matriz: es un tabal bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices de utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales y registrar los datos que dependen varios parámetros
     • Operaciones: Suma, Resta, Multiplicación.
   • Propiedades
     • 1) det(A) = det(A) para toda matriz Axn. (2) Si se intercambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. (3) Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es cero. ( 4) Si se multiplica una fila (o columna) de A por un escalar el determinante de la matriz resultante es igual a A por det(A). (5) SIEK (donde K es un campo), entonces det(14) = hodet|A). (6) El determinante de una matriz no varia si a una fila (o columna) se le suma una combinaci on lineal de las resultantes. (7) Si una matriz tiene una fila (o columna) nula, su determinante es nulo. 8) det(AB) = det(A) det (8). Frecuentemente det(A + B) 1 det(4) + det(B). (9) A es invertible si y solo si det(A) 0. (10) SI A es invertible, entonces det A-1) 1 det(4) der(A) (11) SI A es una matriz triangular inferior o triangular superior, entonces det(A) es el producto de su diagonal.
   • Determinantes
     • El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales, el determinante de una matriz es un número.
     • Propiedades de los determinantes
       • Los determinantes poseen dos filas (o columnas iguales. Todos los elementos de una fila (columna) son nulos, los elementos de una fila (o columna) sin la combinación lineal de las otras.es decir, si una fila (o columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determínate no varía.