vectores

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1. PROPIEDADES DE LOS VECTORES

   • La suma de vectores tiene propiedades que facilitan la realización de la misma.
     • CONMUTATIVA: propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Ej: A+B = B+A
     • ASOCIATIVA: propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante. Ej: (A+B)+C= A+(B+C).
     • DISTRIBUTIVA: propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Ej: A+(-A) = 0.
     • INVERSO ADITIVO: propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. EJ: A+(-A) = 0.

2. OPERACIONES BASICAS CON LOS VECTORES

   • SUMA
     • es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de {u} se suma con la primera componente de {v}, y la segunda componente de {u} se suma con la segunda componente de {v}.
       • Ejemplo:
       • esta es la grafica que se obtiene de la suma de los vectores
       • Regla del paralelogramo: si queremos sumar dos vectores libres con origen en común, entonces debemos trazar rectas paralelas a los vectores.
   • RESTA
     • Gráficamente, la resta de {u} y {v} se obtiene igual que la suma. La única diferencia es que sumamos el opuesto de {v}. Observa la siguiente figura que muestra a {u} - {v} y nota que en el extremo de {u} se coloca el origen de - {v}.
       • Ejemplo:
       • Grafica
   • MULTIPLICACIÓN
     • La multiplicación de un vector {u} por un número k se escribe k{u} o k \cdot \vec{u}. El número k también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:
       • - k{u} tiene la misma dirección que {u}. Si k es positivo, entonces k{u} tiene el mismo sentido que {u}. Si k es negativo, entonces k{u} tiene el sentido contrario que {u}. El módulo de k{u} es |k|*{u}

3. VECTORES BASE

   • e. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
     • Propiedades de las bases:
       • 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
   • Base de un subespacio. En ℜ 3 , consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:

4. PRODUCTO PUNTO

   • también conocido como producto escalar o producto interno, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud. Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos
     • donde V es un espacio vectorial y {K} es el cuerpo sobre el que está definido V; . La función (. , .) (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo {K}
       • 1. Conmutativa
       • 2. Distributiva
       • 3. Asociatividad.
       • El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

5. PRODUCTO VECTORIAL

   • El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica en la siguiente imagen
     • El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que:
       • Se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se obtienen entonces las siguientes relaciones:
         • Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante:

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