CALCULO DE UNA VARIABLE

CALCULO DE UNA VARIABLE

1. UNIDAD 1: fUNCIONES

   • Calculo de funciones: Dominio y Rango
     • Polinomicas
       • Dom= R (Todos los reales) Rang= Evaluar lafuncion y determinar
       • Racionales
         • DOMINIO: Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación.
           • Rango: Se debe evaluar la función o mediante la gráfica determinar los valores para el rango.
         • FUNCIONES RADICALES:
           • * Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales *si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.
             • Rango: Se debe evaluar la función o mediante la gráfica determinar los valores para el rango.
           • FUNCIONES LOGARÍTMICAS
             • Dominio: Tomamos lo que hay dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que cero.
               • El Rango estará representado por el conjunto de todos los números reales.
             • Función compuesta
               • La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un mismo elemento x.
                 • La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f)(x) primero actua la función f y luego la g sobre f(x).
               • Funciones pares o impares
                 • Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y
                   • Una función es par si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ).
                 • Es impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen
                   • Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ).
               • Cero de una función
                 • Un cero real de una función es un número real que hace el valor de la función igual a cero.
                   • Un número real, r , es un cero de una función f , si f ( r ) = 0.
   • LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
     • El límite de una función en un punto es el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.
       • Método numérico, en donde se basa en construir una tabla de valores.
       • Método gráfico, se basa en elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico.
       • Método analítico, en el cual se utiliza el álgebra o cálculo.
     • Límites laterales
       • El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.
         • Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha.
       • Continuidad de una función
         • Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
           • 1. Que el punto x = a tenga imagen.
           • 2 Que exista el límite de la función en el punto x = a.
           • 3. Que la imagen del punto x=a coincida con el límite de la función en el punto.

2. UNIDAD 2: DERIVADAS

   • La función derivada de una función {f(x)} es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por {f'(x)}.
     • Derivabilidad y continuidad
       • Si una función es derivable en un punto {x = a}, entonces es continua para {x = a}.
         • No es deribable cuando en la gráfica encontremos un pico o punta
   • Reglas principales de la derivacion
     • Para una constante ''a'
       • Si f(x)=a, su derivada es f '(x)=0
     • Para la función identidad f(x)= x
       • Si f(x)= x, su derivada es f '(x)= 1.
     • ''x'' elevada a una potencia ''n''
       • Si f(x)=xⁿ, su derivada es f '(x)= nxⁿˉ¹
     • Para una suma o resta de funciones:
       • Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es f '(x) = u'(x) + v'(x)
     • La regla de producto
       • La función:f(x) = uv ; Su derivada: f '(x) = u'v +uv'
     • La regla de cociente
       • La función: f(x)= u/v Su derivada: f '(x)= u'v- uv'/v²
     • Regla de cadena.
       • La funcíón: f(x)= uⁿ̄ Su derivada:f '(x) = n(u)ⁿˉ¹(u')̄
     • Funciones trigonométricas
     • Derivación implícita
       • Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar \displaystyle y . Basta derivar tanto el miembro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable
       • Criterios de la 1ra derivada
         • Criterios de la 2da derivada
           • Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b).
             • Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
             • Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajoen (a,b).
         • Sea f una función continua en el intervalo [ a , b ] ⊂ R y derivable en ] a , b [ . Entonces
           • La función f es monótona creciente en el intervalo ] a , b [ si, y sólo si, f ′ ( x ) ≥ 0 para todo x ∈ ] a , b [
           • La función f es monótona decreciente en el intervalo ] a , b [ si, y sólo si, f ′ ( x ) ≤ 0 para todo x ∈ ] a , b [ .
           • Decimos que c ∈ ] a , b [ es un punto crítico si f ′ ( c ) = 0
             • Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos relativos (y absolutos) de la función.

3. UNIDAD 3: INTEGRALES

   • Integrar es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
     • Integral indefinida
       • La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
         • • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
           • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
     • Integral definida
       • Dada una función f(x) y un intervalo , la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
         • La integral definida se representa por:
           • (a) es el límite inferior de la integración. (b) es el límite superior de la integración. {f(x)} es el integrando o función a integrar. (dx) es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
     • Métodos de integración
       • Método de integración por partes.
         • El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
           • • Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
             • Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como {v}'
             • Método por pasos
               • 1- El integrando debe ser un producto de dos factores.
                 • 2- Uno de los factores será u y el otro será dv.
                   • 3- Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
                     • 4- Se aplica la fórmula.
       • Método de fracciones parciales
         • Una función racional R(x) se define como el cociente de dos funciones racionales enteras
           • • Es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x).
             • si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia
             • Para integrar una expresión diferencial que contenga la fracción racional, es necesario escribirla como la suma de fracciones parciales., factorizando el denominador Q(x) como un producto de factores lineales y cuadráticos;
               • Caso 1.
                 • Caso 2.
                   • Caso 3.
                     • Caso 4.
                       • Los factores del nominador son lineales y cuadráticos (primeros y segundos grados) y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
                         • En este caso, a todo factor cuadrático x^2 + px+ q que se repite n veces le corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma
                     • Los factores del denominador son lineales y cuadráticos (primer y segundo grado) y ninguno de los factores cuadráticos se repiten.
                       • En este caso, a todo factor cuadrático x^2 + px + q, no repetido en el denominador, le corresponde una fracción parcial de la forma
                   • Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales), y algunos se repiten.
                     • • En este caso, el factor (x-a_1) que se repite n veces, corresponde a la suma de n fracciones parciales de la forma
                 • Los factores del denominador son todos del primer grado (lineales), y ninguno se repite.
       • Método de sustitución
         • El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
           • Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla
             • Pasos para integrar por cambio de variable
               • • 1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
                   • 2Se sutituye la diferencial en la integral:
                     • 3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos
                       • 4 Se vuelve a la variable inical:

Bilder und Dateien der Mindmap