Funciones vectoriales de una variable real

Funciones vectoriales de una variable real

1. ·

   • Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector
     • Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas componentes de variable real del parámetro t. Sí F es continua, derivable o integrable, lo son x(t), y(t) y z(t).
     • La función vectorial también se puede encontrar representada como f (t). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
       • r (t) = f (t), g (t) ... ... ... . Plano r (t) = f (t), g (t), h (t) ... . Espacio

2. El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes.

3. La representación grafica es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio.

   • Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde:

4. Límites y continuidad.

   • • Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F (t) se acerca más y más al vector ξ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.
     • Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.

5. Derivación de funciones vectoriales.

   • Sea la función vectorial F (t) entonces diremos que F ′ (t) es la derivada de dicha función y se define mediante:
     • Teorema Sea F (t) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces F t es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por: F ′(t)= (f′(t), g′(t), h′(t))
   • • Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que F t es derivable en t = a.

6. Integración de funciones vectoriales.

   • La función vectorial F (t) es una antiderivada de la función vectorial
     • INTEGRAL INDEFINIDA Si F (t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se define como;
     • INTEGRAL DEFINIDA Para la función vectorial f (t), se define la integral definida de la misma

7. Longitud de arco

   • Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y

8. Vector tangente, normal y binormal

   • VECTOR TANGENTE Como ya lo vimos anteriormente, al vector F ′(t) también se le llama vector tangente a la curva F (t) en t,F ′(t)= (f′(t), g′(t), h′(t))
     • El vector tangente es unitario

9. Curvatura

   • Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.

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