Constrained optimization I: First order conditions

Constrained optimization I: First order conditions

1. La función f se denomina función objetivo, mientras que .. d ... se denomina función de restricción.

2. Teorema 18.1

   • Se cumple ya sea que estemos maximizando o minimizando f oa C

3. Dos variables y una restricción de igualdad

   • Comenzamos con el problema de maximización con restricciones más simple, el de maximizar una función
     • El problema de maximización de la utilidad en un curso inmediato de microeconomía.
       • Maximizar f(x) Ignoramos por un momento el requisito de que x y.xy deben ser no negativos y la posibilidad de que no se gaste todo el ingreso
         • Geométricamente, nuestro objetivo es encontrar la talla de nivel de valor más alto que cumpla con la restricción.
           • La curva de nivel más alto no puede cruzar la curva de restricción C
             • Otra forma de decir esto es que la curva de nivel más alto de f toca el El conjunto de restricciones

4. El conjunto de restricciones C.

   • Es un conjunto compacto, lo que significa que existe un máximo restringido para este problema.

5. Maximizar f(x1,x2) de pix1+p2x2=0

6. NDCQ

   • Son condiciones regulares

7. Restricciones desiguales

   • Maximizar f(x,y) de g(x,y)<-b
   • F(p)-^G(p)=0

8. Teorema 18.3

   • Si f y g son C^1 las funciones son R^2 y (x*y*) maximiza f de una restriccion de g(x,y)<- b. Si g(x*y*)=b
   • Algunos textos dicen que L(x,y.yi)= f(x,y)+yi*[g(x,y)-b]
   • Ambos usan el mismo Lagrangiano L y ambos requieren que las derivadas de L con respecto a las x sean cero
     • La condición de que ƏL/aµ = h(x, y) – c = 0 para las restricciones de igualdad ya no se cumple para las restricciones de desigualdad, ya que la restricción no necesita ser vinculante en el maximizador en el caso de la restricción de desigualdad.
     • Ambas situaciones requieren que verifiquemos la calificación de una restricción. Sin embargo, solo necesitamos verificar la calificación de la restricción para una restricción de desigualdad si esa restricción es vinculante en la solución candidata.
     • No hubo restricciones en el signo de la multiplicador en la situación de restricción de igualdad; sin embargo, el multiplicador para restricciones de desigualdad debe ser no negativo
     • Para restricciones de igualdad (y para problemas sin restricciones), las mismas condiciones de primer orden que funcionan para problemas de maximización también se cumplen para problemas de minimización

9. Teorema 18.4

   • Si f,g1,.....,gk son funciones c^1 de n vriables, suponer que x* E R^n es un local maximo de f en la resticcion definida de k desigualdades

10. Teorema 18.5

    • g1(x1,.....,xn)<- b1....., gk(x1,......,xn)<-bk
    • h(x1,.....,xn)=c1,.....,hm (x1,....,xn)=Cn

11. Si la restriccion se tiene un plano tangente m-dimensional bien definido en todas partes

12. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas de optimización con restricciones que surgen en economía tienen sus restricciones definidas por desigualdades

    • El método para encontrar los máximos restringidos en problemas con restricciones de desigualdad es un poco más complejo
    • Las condiciones de primer orden implican tanto igualdades como desigualdades y su solución implica la investigación de varios casos.

13. h para denotar funciones que definen restricciones de igualdad y g para denotar funciones que definen restricciones de desigualdad.

    • Esta convención será especialmente útil cuando trabajemos con el caso general que incluye restricciones tanto de escalidad como de descalidad.

14. Condición de holgura complementaria.

    • Tal condición en la que una de dos desigualdades debe ser vinculante
    • Una forma conveniente de resumir tal condición de que uno de dos números sea cero es decir que su producto debe ser cero

15. Dado que no sabemos a priori si la restricción será vinculante o no al máximo imizer, no podemos usar la condición aL/âµ = 0

    • Usamos con restricciones de igualdad ya que esta condición es equivalente a g(x, y) – b = 0.

16. PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

    • Las condiciones de primer orden para un problema de minimización son las mismas que las condiciones de primer orden para un problema de maximización
    • el multiplicador se aplicó solo a problemas de maximización. El mismo argumento mostraría que si quisiéramos minimizar f en lugar de maximizarla sobre el mismo conjunto de restricciones, escribiríamos elLogaritmo de la misma manera pero requeriríamos que los multiplicadores fueran < 0

17. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las primeras restricciones de desigualdad ko son vinculantes en x y que las otras restricciones de desigualdad k-ko no son vinculantes. Suponga que se cumple la siguiente calificación de restricción no degenerada - en x

18. Teorema 18.6

    • Sin pérdida de generalidad, puede suponer que las primeras restricciones de desigualdad ko son vinculantes en x y que las otras restricciones de desigualdad k-ko no son vinculantes.

19. Hemos separado las restricciones de no negatividad del resto de las restricciones de desigualdad.

    • el enfoque que estamos a punto de describir se remonta al trabajo pionero de Harold Kuhn y A. W. Tucker sobre problemas de maximización con restricciones de desigualdad
      • Se conoce como la formulación de Kuhn-Tucker.