CONJUNTOS NUMERICOS

CONJUNTOS NUMERICOS

1. Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre se comunicaba con gestos, palabras o sonidos, el cual se fue perfeccionando durante miles de años, hasta llegar al lenguaje hablado y utilizando pictogramas, cada vez que necesitaban cuantificar algo, se creaba la necesidad de los números

   • Los conjuntos numéricos son, en otras palabras, los tipos de números que las personas tenemos a nuestra disposición para realizar operaciones, tanto cotidianas como a un nivel más sofisticado

2. NUMEROS NATURALES

   • Denotacion (N)
   • DEFINICION: Son aquellos que toman intervalos discretos de una unidad, y empiezan con el número 1, extendiéndose hasta el infinito.
   • EJEMPLO: ? = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, … … … … . .}
   • PROPIEDADES
     • El conjunto de los números naturales tiene un elemento inicial
     • Todo número natural posee un único sucesor
     • Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor
     • El conjunto de los números naturales es infinito
     • El conjunto de los números naturales es ordenado.
   • CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
     • Un número es divisible entre 2 si es par. Ejemplo: 234458 es divisible entre 2
     • Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Ejemplo: 1593 es divisible entre 3 porque 1 + 5 + 9 + 3 = 18 es divisible por 3
     • n número es divisible entre 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5. Ejemplo: 12345 lo es.
     • Un número es divisible entre 7 si al restar al número hasta las decenas el doble de las unidades da múltiplo de 7. Se repite si es necesario. Ejemplo: 3682 es divisible entre 7 porque 368-4 = 364 → 36-8 = 28 múltiplo de 7
     • Un número es divisible entre 11 si agrupando sus cifras de dos en dos desde las unidades, su suma da múltiplo de 11. Ejemplo: 70 510 es divisible entre 11 porque 7 + 5 + 10 = 22 múltiplo de 11
     • En los demás casos (13,17,...) hay que hacer la división

3. NUMEROS ENTEROS

   • Denotacion (Z)
   • incluyen los números naturales, más aquellos que también toman intervalos discretos, pero que tienen un signo negativo por delante, y se incluye el cero.
   • EJEMPLO: -32 : 1 ; 12 ; 430 ; 88 ; -1 ; 88 ; 52
   • PROPIEDADES
     • CONMUTATIVA
       • Para todos los números enteros a y b, tenemos: a+b = b+a ; axb=bxa
         • EJEMPLO: 5+2 = 2+5 ; 10-3 = -3+10
     • ASOCIATIVA
       • Para todos los enteros a, b y c, tenemos: a+(b+c)=(a+b)+c ; ax(bxc)=(axb)xc
         • EJEMPLO: 2+(3-5) = (2+3)-5 ; 2+(-2) = (5)-5
     • DISTRIBUTIVA
       • Para todos los enteros a, b y c, tenemos: (a+b) . c= a.c+b.c
         • EJEMPLO: (5+4) . 3 = 5 . 3 + 4 . 3 (9).3 = 15 + 12 = 27 = 27
     • IDENTIDAD
       • Existen los números enteros 0 y 1, tal que para los números enteros a tenemos: a+0=a ; ax1=a
         • EJEMPLO: -10+0=-10 ; (-10)X1 =-10
     • ADICION INVERSA
       • Para cualquier número entero a, existe un número entero negativo -a tal que: a+(-a)=0 ;
         • EJEMPLO: 4+(-4)=0
     • ENTEROS POSITIVOS
       • Para cualquier número entero positivo a y b, el resultado de adición o multiplicación también es positivo.
         • EJEMPLO: 5+4=9 ; 5X4=20

4. NUMEROS RACIONALES

   • Denotacion (Q)
   • un número racional es aquel que se puede escribir de la forma ? ? siendo ? ≠ 0 ? ?, ? ? �
   • EJEMPLOS: 7,2 (36/5) ; 3,333333 (10/3) ; 86,5 (173/2) ; 55,7272727 (613/11)
   • PROPIEDADES
     • CLAUSURA
       • SUMA: Sean a y b numeros racionales, entonces a+b es un numero racional: a,b ER - (a+b)ER
       • MULTIPLICACION: Sean a y b numeros racionales, entonces axb es un numero racional: a,b ER (axb)ER
     • ASOCIATIVA
       • SUMA: Sean a,b,c numeros racionales, entonces: a+(b+c)= (a+b)+c
       • MULTIPLICACION: Sean a,b,c numeros racionales, entonces: ax(bxc)=(axb)xc ; a(bc)=(ab)c
     • IDENTIDAD ADITIVA
       • Sea a un numero racional entonces a+0= a
     • IDENTIDAD MULTIPLICATIVA
       • Sea a un numero racional, entonces: ax1 = 1xa = a
     • INVERSO ADITIVO
       • Sea a un numero racional, entonces: a+(-a) = -a+a= 0
     • INVERSO MULTIPLICATIVO
       • Sea a un numero racional, entonces a(1/a) = (1/a)a = 1
     • CONMUTATIVA
       • SUMA-. Sean a y b numeros racionales, entonces: a+b= b+a
       • MULTIPLICACION: Sean ay b numeros racionales entonces: axb = bxa
     • DISTRIBUTIVA
       • Sean a,b,c numeros racionales, entonces: a(b+a)= a(b)+a(c) ; (b+c)a= (b)a+(c)a

5. NUMEROS IRRACIONALES

   • Denotacion (I)
   • El conjunto de los números Irracionales, Ι, son aquellos que no se pueden pasar a la forma ? ? como √2, ?,?,? ,???.
   • Caracteridtica: Los números irracionales y los racionales son conjuntos disjuntos. Es decir, no tienen elementos en común y cifras infinitas no periodicas
   • EJEMPLOS: √5. 2.2360679775 ; √3. ... ; √698. 26.4196896272 ; π (pi)
   • PROPIEDADES
     • CONMUTATIVA
       • Al sumar o multiplicar números irracionales también se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π + ϕ = ϕ + π; así como en la multiplicación, π × ϕ=ϕ × π.
     • ASOCIATIVA
       • Los números irracionales pueden distribuirse o agruparse de distinta manera entre sí y el resultado será el mismo. Por ejemplo, en la suma, será (ϕ + π) +e = ϕ + (π + e); y de la misma manera en la multiplicación, (ϕ × π) × e = ϕ × (π × e).
     • CERRADA
       • Es decir que el resultado de la suma o resta de un número irracional, siempre será un número irracional.

6. NUMEROS REALES

   • Denotacion (R)
   • Es la unión de los Racionales y los Irracionales, tienen una relación biunívoca con la recta ubicando el 0 y a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos.
   • EJEMPLOS:
   • PROPIEDADES
     • 1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
     • 2 La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
     • 3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
     • 4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
     • 5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
     • 6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
     • 7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
     • 8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
     • 9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
     • 10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
     • 11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

7. NUMEROS COMPLEJOS

   • DEFINICION: Los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios..En otras palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria.
   • EJEMPLO: 1 + i 39 + 3i 0,8 − 2,2i −2 + πi √2 + i/2
   • PROPIEDADES
     • TRANSITIVA
       • Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3
     • SUMA
       • Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
         • Propiedad de cierre o cerradura para la suma Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C
         • Propiedad conmutativa Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que z1+z2=z2+z1
         • Propiedad asociativa Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
         • Existencia del elemento neutro para la suma 0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma
         • Existencia del inverso aditivo u opuesto Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z
     • MULTIPLICACION
       • e define el producto de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como (a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i
         • Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C
         • Propiedad conmutativa Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que z1⋅z2=z2⋅z1
         • Propiedad asociativa Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
         • Existencia del elemento neutro para la multiplicación 1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.
         • Existencia del inverso multiplicativo o recíproco Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1
     • DISTRIBUTIVA
       • Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3
     • CONJUGADO
       • El conjugado de un número complejo z=a+bi, denotado por z¯¯¯, se define como z¯¯¯=a−bi Es claro las siguientes El conjugado de un número real es él mismo. El conjugado de un número imaginario puro es el opuesto del número
         • El conjugado del conjugado Para z∈C se tiene que z¯¯¯¯¯¯=z
         • La suma y resta con el conjugado Para z∈C se tiene que z+z¯¯¯=2Re(z) y z−z¯¯¯=2Im(z)
         • El producto con el conjugado Para cualesquiera z∈C, z=a+bi, se tiene que z⋅z¯¯¯=a2+b2
         • El conjugado de una suma y de un producto Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que z1+z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯+z2¯¯¯¯¯ z1⋅z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯⋅z2¯¯¯¯¯
     • MODULO
       • El módulo o valor absoluto de un número complejo z=a+bi, denotado por |z| , se define como |z|=a2+b2−−−−−−√
         • El módulo es la raíz cuadrada de zz¯¯¯
         • El módulo del producto Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
         • Módulo es positivo o cero |z|≥0
         • Módulo cero |z|=0 si y sólo si z=0
         • Módulo del conjugado |z¯¯¯|=|z|
         • Módulo de la parte real y de la parte imaginaria |Re(z)|≤|z| y |Im(z)|≤|z|
         • Desigualdad triángular |z1+z2|≤|z1|+|z2|

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