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LAS FUNCIONES

Alexander ceron Spanisch

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LAS FUNCIONES

LA CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES SE COMPONE EN:
- 1.- FUNCIÓN POLINÓMICA
  - LA FUNCIÓN POLINÓMICA ES UN TIPO DE FUNCIÓN EL CUAL SE FORMA POR UN POLINOMIO MAYOR DE 3 GRADO
    - ES DECIR DE LA FORMA:F(x)=a₁x¹+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴……….+anxⁿ
      - sus características son:
        1.-el dominio es el conjunto de los reales(Ʀ)
        2.-son continuas
        3.-no tienen asíntotas
        4.-Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio
        5.-Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
        6.- presenta puntos críticos los cuales se obtienen de la primera derivada
        7.- presenta puntos de inflexión se obtienen de la segunda derivada
        si an>0 inicia desde el primer cuadrante,, si an<0 inicia desde el cuarto cuadrante
- 2.-FUNCIÓN CONSTANTE
  - ES UNA FUNCIÓN CONSTANTE ES AQUELLA QUE TOMA UNA SOLA IMAGEN PARA Y=
    - ES DECIR DE LA FORMA: f(x)=a
      - sus características son:
        1.- El dominio de la función constante son todos los números reales(Ʀ)
        2.- El rango de la función constante es únicamente el valor de la constante
        3.-La función constante no es ni creciente ni decreciente
        4.-La función constante es un polinomio de grado cero
        5.- siempre es una recta horizontal así el número sea positivo o negativo
- 3.- FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO
  - Es una función primer grado son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión.
    - ES DECIR DE LA FORMA: f(x)=mx+n
      - donde: m: es la pendiente y n: es la ordenada
        sus caracterísiticas son:
        1.-Son crecientes ( m>0 ) o decresientes ( m<0)
        2.- su dominio son todos los reales(R)
        3.- Son continuos
        de estas funciones se dividen 3 grupos dependiendo el valor de m y n
        FUNCIÓN LINEAL
        Una función lineal es una función de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas
        Se representa de la forma f(x)=mx
        FUNCIÓN AFIN
        esta función se caracteriza por no pasar por el eje de coordenadas
        se representa por la forma f(x)=mx+n
        donde m: es la pendiente y n: es el intercepto
- 4.-FUNCIÓN CUADRATICA
  - una función cuádratica es aquella función de segundo grado
    - es decir de la forma:F(x)=ax²+bx+c
      - donde a no debe ser cero
        sus características son:
        1.- el dominio de esta función es todos los reales
        2.-Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el máximo de la función
        Existen dos elementos fundamentales en la parábola que definen como es esta:
        1.- El eje de simetría
        es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales
        2.- el vértice
        es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría
        concava cuando x es positiva
        convexa cuando x es negativa
    - SU GRÁFICA ES UNA PARÁBOLA
- 5- FUNCIÓN RACIONAL
  - LA FUNCIÓN RACIONAL ES AQUELLA EN LA CUAL ESTA PRESENTE UNA FRACCIÓN
    - SE REPRESENTA DE LA FORMA F(X)=P(X)/Q(X)
      - P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de estar en el denominador).
        El dominio de esta función se compone en
        sus características son:
        1.-El dominio de definición son todos los números reales menos las raíces del denominador.
        2.- son discontinuas en los valores de x que son las raíces del denominador
        3.-Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador
        4.-Tiene asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el denominador
        5.- Tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador.
        la gráfica es una hiperbóla
- 6.-FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
  - Una función de proporcionalidad inversa es aquella función que relaciona dos magnitudes que son inversamente proporcionales, es decir, que una magnitud aumenta cuando la otra disminuye y viceversa.
    - SE REPRESENTA DE LA FORMA:
      - F(X)= K/X
        DONDE K DEBE SER DIFERENTE DE CERO
        el dominio de una función de proporcionalidad inversa son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador
        Si la constante k es negativa, la función es creciente.
        K<0 está en el segundo y cuarto cuadrante.
        si la constante k es positiva, la función es decreciente.
        K>0 está en el primer y tercer cuadrante.
- 7.- FUNCIÓN RADICAL
  - llamadas también funciones irracionales
    - Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:
      - SE REPRESENTA DE LA FORMA:
        donde g(x) es una función polinómica o una función racional
        caracterísiticas:
        1.-Si el índice del radical es impar, el dominio es todos los reales(R).
        2.-Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero
        3.-Es continua en su dominio y no tiene asíntotas si la función bajo la raíz es una función polinómica.
        Cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que hacen al radicando cero o mayor que cero.
        Cuando el índice es impar, el dominio son los números reales
- 8.- FUNCIÓN INVERSA
  - Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.
    - CARACTERÍSTICAS:
      - 1.- Las gráficas de una función f y su inversa f-1 son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.
        2.-El dominio de la función principal es igual al recorrido de la función inversa
        3.- el rango de la función principal es igual al dominio de la función inversa
        4,. si un punto (a , b) pertenece a la función f, el punto (b , a) pertenecerá a la su inversa f-1
        grafico
- 9.-FUNCIÓN EXPONENCIAL
  - Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a
    - se representa cómo f(x)=aⁿ
      - características
        1.-El dominio son todos los números reales.
        2.- El recorrido son todos los números reales positivos.
        3.- cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.
        4.- Son funciones continuas
        5.- Son siempre concavas
        6.- El eje X es una asíntota horizontal
        a>1
        0<a<1
- 10.- función potencial exponencial
  - esta función es aquella en la que, tanto la base como el exponente son funciones
    - es decir la variable independiente se encuentra en la base y el exponente
      - se representa de la siguiente manera
        ejemplo de una grafíca
- 11.- función logaritmica
  - Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es, en su forma simple, de la forma
    - f(x)=loga(x)
    - siendo "a" un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
      - características:
        1.-Las funciones logarítmicas tienen por dominio (0, +∞). Son siempre continuas
        2.-Si la base es mayor que uno (a > 1) la función es creciente. Crece de manera muy lenta para x > 1
        3.-Si la base es menor que uno (0 < a < 1) la función es decreciente
        4.-Pasan por el punto (1, 0), que es su única raíz; no cortan al eje Y
        5.-El eje Y es asíntota vertical. Para a > 1 esto se expresa en la forma: si x→ 0+ entonces y→ −∞
        graficos
        a>1
        0<a<1
- funciones trigonometricas
  - en este grupo se descomponen 6 grandes grupos los cuales presentare a continuación:
  - las funciones trigonometricas f(x) son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.
  - Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.
  - función seno
    - el seno de un angulo se define como la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa
      - La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.
        1.-Dominio: todos los reales(R)
        2.-El recorrido o rango de la función seno va desde el 1 negativo hasta el 1 positivo (ambos incluidos)
        rang(f)=[-1,1]
        3.-Este tipo de función trigonométrica tiene un único punto de corte con el eje de las ordenadas (eje Y) en el punto (0,0)
        Valores característicos de la función seno
        grafíca de la función seno
        se representa de la forma: f(x)= sen(x)
  - función coseno
    - El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
      - La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes)
        se representa de la forma f(X)=cos(X)
        características:
        1.- el dominio son todos los reales
        2.- El recorrido o rango de la función coseno va desde el 1 negativo hasta el 1 positivo (ambos incluidos)
        rang(f)=[-1,1]
        3.-Se trata de una función continua y par de periodicidad 2π.
        4.-Este tipo de función trigonométrica tiene un único punto de corte con el eje Y en el punto (0,1)
        Valores característicos de la función coseno
        grafica de la función coseno
  - función tangente
    - La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
      - caracteristicas.
        1.- El dominio de la función tangente son todos los números reales excepto los puntos donde hay una asíntota vertical:
        2.-El recorrido o rango de la función tangente son todos los números reales.
        3.-Se trata de una función continua e impar de periodicidad π
        4.-Este tipo de función trigonométrica tiene un único punto de corte con el eje de las ordenadas (eje Y) en el punto (0,0)
        5.-En cambio, intercepta periódicamente con el eje de las abscisas (eje X) en las coordenadas múltiples de pi
        6.-La función es estrictamente creciente en todo el dominio, por lo que no tiene ni máximos ni mínimos
        valores caracteristicos de la función tangente
        grafica de la función tangente
      - se representa de la manera f(X)=tang(x)
  - FUNCIÓN COSECANTE
    - La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto
      - Podemos definirla como la función inversa al seno
        La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).
        características de el cosecante
        1.- el dominio de función cosecante son todos reales(R) excepto (a · π), siendo a un número entero dom(f)=R--{a*π}
        2.- el rango de la función cosecante es R - (- 1, 1)
        3.- su gráfica es simétrica con respecto al origen (0, 0).
        4.-No corta al eje X ni al eje Y
        grafica de la función cosecante
        5.-Es impar, es decir, simétrica respecto al origen
        6.-Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·a·π, - 1) donde a∈Z
        7.-Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·a·π, 1) donde a∈Z
        8.-Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = a·π donde a∈Z
        valores caracteristicos de la función cosecante
    - se representa de la forma f(x)= cosec(x)
  - función secante
    - La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente
      - podemos decir que la función secante es la función inversa del coseno
        La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes)
        características:
        1.- el dominio de función secante son todos reales(R) excepto (π/2 + a · π), siendo a un número entero dom(f)=R--{π/2 + a · π}
        2.- el rango de la función secante es: rang(f)=R--(-1,1)
        3.-es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje Y
        4.-no existen asíntotas horizontales. Esta es una función periódica con período 2π
        valores caracteristicos de la funcion secante
        grafica de la función secante
        5.-No corta al eje X. Corta al eje Y en el punto (0, 1)
        6.-Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·a·π, - 1) donde a∈Z .
        7.-Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·a·π, 1) donde a∈Z
        8.-Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + a·π donde a∈Z
    - se representa de la forma f(X)=sec(x)
  - Función cotangente
    - La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto
      - podemos decir que la función cotangente es la función inversa de la tangente
    - se representa de la forma f(X)=cotan(x)
    - La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes)
      - caracteristicas:
        1.-Su dominio es R - {π + a·π} donde a∈Z
        2.-Su recorrido es R
        3.-Es discontinua en los puntos (π + a·π) donde a∈Z
        4.-Es impar, es decir, simétrica respecto al origen
        5.-Corta al eje X en los puntos (π/2 + a·π) donde a∈Z
        6.-No corta el eje Y
        7.-Es estrictamente decreciente en todo su dominio
        8.-No tiene máximos ni mínimos
        valores caracteristicos de la función cotangente
        gráfica de la función cotangente
- FUNCIÓN A TROZOS
  - es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde
    - cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación
      - CARACTERISTICAS:
        1.-Puede tener comportamientos distintos dependiendo el intervalo de estudio
        2.-Debido a que la misma se define por trozos es posible que presente puntos de discontinuidad
        3.-Contienen varias formulas, es decir, no se representa con una única función
        su grafica se representa de la siguiente manera
      - SE REPRESENTA DE LA SIGUIENTE MANERA:
        donde los dominios suelen aparecer como intervalos o puntos
- FUNCIÓN INYECTIVA
  - Cada elemento del conjunto final "Y" tiene un único elemento del conjunto inicial "X"
    - Es decir, no pueden haber más de un valor de "X" que tenga la misma imagen "Y"
      - No siempre todos los elementos del conjunto final "Y" deben corresponderse con alguno del conjunto inicial "X"
        REPRESENTACIÓN GRAFICA
        Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto
        Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen
        ∀a, b∈ Dom(f) , si f(a)= f(b)⇒a=b
        Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Dom(f), si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales
        Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto
  - FUNCIÓN SOBREYECTIVA
    - si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
      - una función es sobreyectiva cuando el codominio y el recorrido coinciden
        representación grafica
      - ∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y
        Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.
      - es forma matematica decimos que:
    - FUNCIÓN BIYECTIVA
      - Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.
        no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final "Y" solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial "X"
        ∀y∈Codf ∃!x∈Domf / f(x)=y
        Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.
- FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
  - Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica
    - se representa de la forma:
      - f(x) = |x|
        caracteristicas:
        siempre será positiva o nula.
        EL DOMINIO son todos los reales
        El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0
        La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0
      - su grafica es en forma de V
    - Una función valor absoluto se puede desplazar, simplemente, deslizándose el vértice a derecha e izquierda por el eje de las X
      - f(x) = |x ±a|. (si "a" va con signo más , la gráfica se desplaza una distancia a hacia la izquierda; si "a" va con signo menos, la gráfica se desplaza una distancia "a" hacia la derecha)
        desplazamiento hacia la izquierda
        desplazamiento hacia la derecha
    - se puede desplazar verticalmente, deslizándose el vértice arriba o abajo por el eje de las Y
      - f(x) = |x|± a. (si "a" va con signo más, la gráfica se desplaza una distancia "a" hacia arriba; si "a" va con signo menos, la gráfica se desplaza una distancia "a" hacia abajo
        desplazamiento hacia arriba
        desplazamiento hacia abajo