ANALISIS COMBINATORIO

ANALISIS COMBINATORIO

1. Principios fundamentales del análisis combinatorio

   • Principio de multiplicación
     • EJEMPLO Supongamos que estás eligiendo la ropa que usarás hoy, y tienes las siguientes opciones: Camisa: Puedes elegir entre 3 camisas diferentes (A, B, C). Pantalones: Puedes elegir entre 2 pantalones diferentes (X, Y). Zapatos: Puedes elegir entre 2 pares de zapatos diferentes (1, 2). Ahora, usando el principio de multiplicación, puedes determinar el número total de maneras en que puedes elegir una combinación de camisa, pantalones y zapatos: Número total de combinaciones = Número de camisas * Número de pantalones * Número de zapatos 3 camisas × 2 pantalones × 2 zapatos = 12 combinaciones . 3 camisas×2 pantalones×2 zapatos=12 combinaciones.
   • Principio de Adicion
     • EJEMPLO: estás planificando un viaje de fin de semana y tienes dos opciones de destinos: Puedes ir a la playa (opción A). Puedes ir a la montaña (opción B). Ahora, debes tomar una decisión y solo puedes elegir una de las opciones. Según el principio de adición, el número total de formas en que puedes planificar tu fin de semana es la suma de las formas de hacer cada elección: Número total de opciones = Opciones en la playa + Opciones en la montaña 1 opción o n en la playa + 1 opción en la montaña = 2 opciones en total . 1 opción n en la playa +1 opción en la montaña =2 opciones en total.

2. VARIACIONES

   • Variaciones sin repeticion
     • tienes 5 cartas numeradas del 1 al 5, y deseas encontrar todas las posibles variaciones de 3 cartas sin permitir repeticiones. ¿Cuántas variaciones diferentes puedes formar? Usando la fórmula de variaciones sin repetición, donde n = 5 n=5 (número total de cartas) y r = 3 r=3 (número de cartas a elegir): V ( 5 , 3 ) = 5 ! ( 5 − 3 ) ! = 5 ! 2 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 = 60 V(5,3)= (5−3)! 5! ​ = 2! 5! ​ = 2×1 5×4×3×2×1 ​ =60
   • Variaciones con repetecion
     • Supongamos que tienes 3 colores de bolas (roja, azul y verde) y deseas crear una combinación de 4 bolas, permitiendo la repetición de colores. ¿Cuántas combinaciones diferentes puedes tener? Usando la fórmula de variaciones con repetición, donde n = 3 n=3 (número de colores) y r = 4 r=4 (número de bolas a elegir): V ( 3 , 4 ) = 3 4 = 81 V(3,4)=3 4 =81

3. Permutaciones

   • Permutación sin repetición
     • Supongamos que tienes 5 libros diferentes y deseas organizarlos en una estantería. ¿Cuántas formas diferentes hay de organizar los libros si no quieres que se repitan las posiciones? Utilizando la fórmula de permutaciones sin repetición, donde n = 5 n=5 (número total de libros) y r = 5 r=5 (número de libros a organizar): P ( 5 , 5 ) = 5 ! ( 5 − 5 ) ! = 5 ! 0 ! P(5,5)= (5−5)! 5! ​ = 0! 5! ​
   • Permutaciones con repeticion
     • tienes la palabra "MATEMATICAS" y deseas encontrar el número de permutaciones de las letras, considerando que algunas letras pueden repetirse. En este caso, hay 11 letras en total, y algunas letras se repiten: P ( 11 ; 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 1 ) = 11 ! 2 ! ⋅ 3 ! ⋅ 1 ! ⋅ 2 ! ⋅ 1 ! ⋅ 1 ! P(11;2,3,1,2,1,1)= 2!⋅3!⋅1!⋅2!⋅1!⋅1! 11! ​ = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 2×1×3×2×1×2×1×1×1×1×1 11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ​ = 332 , 640 =332,640
   • Permutaciones Circulares
     • Supongamos que tienes 4 amigos: A, B, C y D, y deseas organizar una cena en la que cada persona se siente en una silla alrededor de una mesa circular. Quieres contar cuántas maneras diferentes hay de organizar a tus amigos alrededor de la mesa. Usando la fórmula de permutaciones circulares, donde n = 4 n=4 (número de amigos): P c ( 4 ) = ( 4 − 1 ) ! = 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 P c ​ (4)=(4−1)!=3!=3×2×1=6

4. COMBINACIONES

   • Combinaciones con repeticion
     • Supongamos que estás organizando una merienda y tienes tres tipos de pasteles: chocolate, vainilla y fresa. Quieres seleccionar 4 pasteles para servir. ¿Cuántas formas diferentes hay de seleccionar los pasteles si puedes repetir cualquier tipo de pastel? Usando la fórmula de combinaciones con repetición, donde n = 3 n=3 (número de tipos de pasteles) y r = 4 r=4 (número total de pasteles a seleccionar):
   • Combinaciones sin repeticion
     • Supongamos que tienes un grupo de 7 amigos y deseas seleccionar un comité de 3 personas para organizar un evento. ¿Cuántas combinaciones diferentes de comités puedes formar? Usando la fórmula de combinaciones sin repetición, donde n = 7 n=7 (número total de amigos) y r = 3 r=3 (número de amigos a seleccionar):