Funciones cuadráticas en contextos socioculturales

Funciones cuadráticas en contextos socioculturales

1. PARABOLAS: La forma general de la expresión algebraica de la parábola es y=f(x)=ax2+bx+c donde a≠0 y tiene las siguientes características: Tiene un eje de simetría en la recta x=−b2a, que pasa por el vértice. La parábola tiene las ramas hacia arriba si a>0 y tiene las ramas hacia abajo si a<0.

2. ECUACIONES CUADRATICAS: Una ecuación que puede escribirse de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Puedes resolver una ecuación cuadrática usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización cuando es necesario, y usando el Principio del Producto Cero. Problema: Resolver (x + 4)(x – 3) = 0 para x Respuesta: x = −4 OR x = 3

   • FOCO: de una curva o de una superficie es un punto singular, por lo general no perteneciente a ella, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con todos los puntos de la misma. Una figura puede tener asociados más de un foco.
   • EL VERTICE: El vértice es el punto de una figura geométrica donde se unen dos o más elementos unidimensionales. Estos pueden ser curvas, vectores, rectas, semirrectas o segmentos.
   • EJE DE LA PARABOLA: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola. Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.
   • DIRECTRIZ: es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz).

3. FORMULAS ASOCIADAS A LA PARABOLA: y = ax 2 + bx + c . En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto ( h , k ). da la coordenada en x del vértice

   • FORMULAS ASOCIADAS A LA ECUACION CUADRATICA: 0 = ax 2 + bx + c. Colocando los valores de a , b , y c , Usted obtendrá los valores deseados de x . Si la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada ( b 2 – 4 ac , también llamado el discriminante ) es negativo, entonces no hay soluciones reales.
     • ECUACION PARA HALLAR EL FOCO: Si Usted tiene la ecuación de una parábola en la forma vértice y = a ( x - h ) 2 + k , entonces el vértice esta en ( h , k ) y el foco esta en ( h , k + 1/(4 a )).
       • ECUACION PARA HALLAR EL VERTICE Y EL EJE: Utiliza la fórmula del vértice para hallar el valor x del vértice. El vértice también determina dónde se encuentra el eje de simetría de la ecuación (x). La fórmula para hallar el valor x del vértice de una ecuación cuadrática es x = -b/2a.
         • ECUACION PARA HALLAR LA DIRECTRIZ Y LA PARABOLA: Digamos que ( p , q ) es el punto D en la directriz y use la fórmula del punto medio. Iguale las coordenadas en x y resuelva para p . Iguale las coordenadas en y y resuelva para q . La ecuación de la directriz esta en la forma y = c y pasa a través del punto (1, 6).

4. ECUACION CANONICA DE UNA PARABOLA: Para determinar la ecuación canónica o reducida de una parábola situemos un sistema de referencia de manera que el eje de abscisas coincida con el eje de la parábola y el origen O, con el punto medio del segmento DF, donde D es la proyección ortogonal del foco F sobre la directriz.

   • TRASLACIONES Y DESPLAZAMIENTOS EN EL PLANO DE UNA PARABOLA:
     • DESPLAZAMIENTO VERTICAL: Para hacer una transformación en vertical sumamos o restamos una constante, es decir, {y = x^2 + k} Si {k > 0}, {y = x^2} se desplaza hacia arriba {k} unidades Si {k < 0}, {y = x^2} se desplaza hacia abajo {k} unidades El vértice de la parábola es: {(0, k)} El eje de simetría {x = 0} Tomamos dos ejemplos donde la constante {k} es positiva y negativa.
     • DESPLAZAMIENTO LATERAL: Para hacer una transformación en lateral sumamos o restamos una constante pero esta vez dentro del término cuadrático, es decir, {y = (x + h)^2} Si {h > 0}, {y = x^2} se desplaza hacia la izquierda {h} unidades Si {h < 0}, {y = x^2} se desplaza hacia la derecha {h} unidades El vértice de la parábola es: {(-h, 0)} El eje de simetría es {x = -h} Tomamos dos ejemplos donde la constante {h} es positiva y negativa.
       • CAMBIO EN LA ALTURA DE UNA PARABOLA: ¿Cuál es la altura de la parábola? La parábola de seguridad La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0. Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º. La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad

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