ANÁLISIS COMBINATORIO

ANÁLISIS COMBINATORIO

1. Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, formándolas y calculando su número permitiéndonos resolver problemas de la vid real.

   • Ejemplos:
     • ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir una persona, si tiene 4 pantalones y 5 camisas?
     • De cuántas formas diferentes se pueden colocar 3 libros matemática y 7 de administración.
     • Si lanzamos una moneda y un dado a la vez, cuántas formas se tiene
   • METODOS DE COMBINACIÓN
     • Diagrama de Arbol
     • Principio de Multiplicación
       • Si un evento o suceso “A” ocurre, en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos simultáneamente es “m . n”
     • Ejemplo:
       • En la etapa final de fútbol de la Copa Perú, tres equipos: Deportivo Ingeniería ( i ), Sport Águila ( a) y Echa Muni ( m ), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?
   • MÉTODOS DE CONTEO
     • En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos.
       • VARIACIONES
         • Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que influye el orden en que se colocan y si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
           • VARIACIONES SIN REPETICIÓN
             • Se definen como las distintas agrupaciones formadas con “p” elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
               • Ejemplo
                 • En una competencia de natación, estilo libre, participan 8 deportistas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?
                   • Solución: Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 8 deportistas
           • VARIACIONES CON REPETICION:
             • se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
               • Ejemplo
                 • Dado un conjunto de números: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse, si los elementos o números pueden repetirse?
                   • Solución: n=6 p=4
       • PERMUTACIONES
         • Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que influye el orden en que se colocan y que tomamos todos los elementos de que se disponen.
           • PERMUTACIONES SIN REPETICION:
             • se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos. El número de estas permutaciones será:
               • Ejemplo
                 • Calcula el número de palabras de 3 letras se pueden formar con las letras “a, n, e”
           • PERMUTACION CON REPETICION
             • El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:
               • Ejemplo
                 • Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( hexágono), luego:
           • PERMUTACIÓN CIRCULAR
             • Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de permutaciones circulares se calcula con la fórmula:
               • Ejemplo
                 • ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?
       • COMBINACIONES
         • Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que no influye el orden en que se colocan y que si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
           • COMBINACIONES SIN REPETICIÓN
             • Son arreglos lineales de los elementos de un conjunto en los que no se toma en cuenta el orden de colocación de cada arreglo. Dos arreglos son diferentes si contiene un elemento que no contiene el otro. El número de combinaciones de “n” elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de “p” en “p” , con p £ n ,es igual a:
               • Ejemplo
                 • Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿Cuánto es el máximo número de triángulos que se podrán formar?
                   • Solución:
                     • Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.
           • COMBINACIONES CON REPETICIÓN
             • Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
               • Ejemplo
                 • Cuantas combinaciones con repetición se pueden formar, dados 3 símbolos diferentes, tomados de 2 en 2.

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