Relação

Relação

1. Definição: Uma Relação Binária (ou relação) R de um conjunto A em um conjunto B é um subconjunto A x B

   • Domínio(R)⊂A
     • dom(R)={x∈A:∃y∈B|(x,y)∈R}
   • Imagem (R)⊂B
     • img(R)={y∈B:∃x∈A|(x,y)∈R}
   • A relação inversa de uma binária R de A em B, denotada por R¹, é a relação de B em A

2. Propriedades das Relações

   • União e Interseção de relações: Se R e S são relações, então R∩S e RUS são também relações de A em B.
   • Composição de Relações: Seja R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. Definimos uma nova relação em AxC chamada de composta de R e S, denotada por R•S dada por: R•S = {(a,c)∈AxC; ∃b. b∈B; aRb e bSc}.
   • Se R, S e T são relações de A em B, B em C e C em D, respectivamente, então: (T•S)•R=T•(S•R).
   • Dizemos que R é reflexiva, se para todo a∈A tem-se (a,a)∈R.
   • A relação em A é simétrica se a,b∈A são tais que (a,b)∈R, então, também tem-se (b,a)∈R.
   • A relação em A é dita transitiva se a,b,c∈A são tais que (a,b)∈R e (b,c)∈R então, também se tem (a,c)∈R.
   • R é irreflexiva se (x,x)∉R para todo x∈A
   • R é assimétrica se xRy e yRx juntos implicarem que x=y, para todo x,y∈A

3. Relação Identidade: dado qualquer conjunto A temos a relação identidade sobre A, denotada por Δ, definido por: Δ={(a,a); a∈A)

4. Chamamos a relação R = A x B de Relação Universal

5. Relação de Equivalência

   • Uma relação R é dita de equivalência se ela for, ao mesmo tempo, REFLEXIVA, SIMÉTRICA E TRANSITIVA
   • Se R é uma relação de equivalência, , definimos a classe de equivalência de um elemento a∈A, denotado por [a]={x∈A;(a,x)∈R}
     • A coleção de das classes de equivalencia dos elementos de A, denotada por A/R, é chamada quociente de A por R: A/R={[a];a∈A}
     • Propriedades das classes de equivalência
       • Para todo a∈A, a∈[a].
       • [a]=[b] se, e somente se (a,b)∈R
       • Se [a]≠[b], então, [a] e [b] são classes disjuntas
       • Uma classe Α de subconjuntos não vazios de A é dita uma partição de A se cada a∈A pertence a algum membro de Α e os membros de Α são dois a dois disjuntos

6. Relação de Ordem

   • Relação de Ordem Total
     • Dizemos que uma relação de ordem parcial R sobre o conjunto A é uma relação de ordem total sobre A se aRb ou bRa, para todo a,b∈A (lei da dicotomia).
     • Uma relação de ordem R sobre A é uma boa ordem se R é uma Relação de Ordem Total e todo subconjunto não vazio de A tem um menor elemento.
   • Relação de Ordem Parcial
     • Dizemos que R é uma relação de ordem parcial se ela é REFLEXIVA, ANTISSIMÉTRICA E TRANSITIVA
     • Propriedades de uma relação de ordem
       • Um elemento b∈B é um maior elemento de B se para todo b'∈B, tem-se b'Rb. E é um menor elemento se para todo b'∈B, tem-se bRb'.
       • Se A é um conjunto parcialmente ordenado pela relação R, o elemento máximo de A é M, tal que para todo x∈A tem-se xRM. Do mesmo modo, o elemento mínimo é m, tal que para tomo x∈A tem-se mRx.
       • Se A é um conjunto parcialmente ordenado pela relação R, o elemento maximal de A é qualquer elemento x tal que para todo a∈A, se xRa então, x=a. Analogamente, um elemento minimal de A é qualquer elemento y, tal que para todo a∈A, se aRy então, a=y.