Funciones

Funciones

1. 1. FUNCIONES

   • Relación o correspondencia entre dos variables
     • Variable dependiente
       • Incógnita a la cual le damos valores (x).
     • Variable independiente
       • Incógnita de la cual nos van a salir valores (y).
   • A cada valor de la variable independiente, le corresponde un único valor de la variable dependiente.
   • Formas de representar las funciones
     • Con un enunciado
     • Con una expresión algebraica
     • Con una tabla de valores
     • Con una gráfica

2. 2. DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS

   • Dominio
     • Cantidad de valores, en el eje x, que puede tomar la función.
   • Recorrido
     • Cantidad de valores, en el eje y, que puede tomar la función.
   • Puntos de corte
     • Puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas.
     • EN EL EJE X
       • Su variable dependiente, y, es igual a cero.
       • Una función puede tener más de un punto de corte con el eje X.
     • EN EL EJE Y
       • Su variable independiente, x, igual a cero.
       • Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y.

3. 3. SIGNO DE UNA FUNCIÓN

   • El signo de una función consiste en ver en qué intervalos está su gráfica por encima o por debajo del eje X.
   • Puede ser de 3 tipos:
     • Positiva
       • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.
     • Negativa
       • Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.
     • Nula
       • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.

4. 4. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN

   • Simetría
     • Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas, eje Y, cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (–x) = f (x).
       • Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas son denominadas funciones pares.
     • Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (– x) = – f (x).
       • Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas reciben el nombre de funciones impares.
   • Periodicidad
     • Una función es periódica de periodo T cuando en todos los puntos del dominio de la función se verifica que f (x + T) = f (x).
       • La gráfica de las funciones periódicas de período T se repite cada T unidades.

5. 5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

   • Creciente
     • Una función, f (x), es creciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≤ f (b).
   • Decreciente
     • Una función, f (x), es decreciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≥ f (b).
   • Constante
     • Un función, f (x), es constante en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) = f (b).

6. 6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

   • EXTREMOS RELATIVOS
     • Máximos relativos
       • Una función, f (x), tiene un máximo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es mayor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
     • Mínimos relativos
       • Una función, f (x), tiene un mínimo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es menor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
   • EXTREMOS ABSOLUTOS
     • Máximo absoluto
       • Una función, f (x), tiene un máximo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio, se verifica que: f (a) > f (x)
     • Mínimo absoluto
       • Una función, f (x), tiene un mínimo absoluto en x = a si, para cualquier valor de x del dominio, se verifica que: f (a) < f (x)

7. 7. CONTINUIDAD

   • Una función, f (x), es continua en un intervalo de su dominio, si su gráfica se puede dibujar en ese intervalo de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
   • Una función, f (x), es discontinua en un intervalo de su dominio, cuando su gráfica no puede dibujarse de un solo trazo en dicho intervalo, es decir, cuando presenta algún salto.
     • Los puntos de la gráfica en los que se observan saltos se denominan puntos de discontinuidad.

8. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDAD

   • Discontinuidad evitable
     • Una función tiene una discontinuidad evitable en x = a si la imagen de dicho punto no está en el trazo de la gráfica o el valor no pertenece al dominio de la función.
   • Discontinuidad inevitable de salto finito
     • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = a si presenta un salto de longitud finita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.
   • Discontinuidad inevitable de salto infinito
     • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = a si presenta un salto de longitud infinita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.

9. 9. ANÁLISIS, INTERPRETACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

   • Análisis
     • Pasos: Su dominio y recorrido, los puntos de corte con los ejes, el signo de la función, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, los máximos y mínimos absolutos, su simetría, su periodicidad y por último la continuidad y los puntos y tipos de discontinuidad.
   • Interpretación
     • Cuando la gráfica de una función corresponde a una situación real es posible deducir información general sobre la situación representada mediante la interpretación de la gráfica.
   • Construcción de la gráfica
     • Para la construcción de la gráfica necesitaremos seguir 6 distintos pasos:

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