FUNCIONES

FUNCIONES

1. TIPOS DE FUNCIONES

   • Función constante
     • Es una función en que siempre toma el valor k , que es una constante: f (x) = k
       • Su dominio son todos los números reales.
   • Función identidad
     • Es una función donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente: f (x) = x
   • Funciones algebraicas
     • Son las funciones que se obtienen cuando se efectúan un número finito de sumas, restas y productos con las funciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales.
   • Funciones polinómicas
     • Son funciones de la forma: ( ) n n f x = a + a x + a x + a x +⋅⋅⋅+ a x 3
       • donde n a ,a ,a , ,a 0 1 2 ⋅⋅⋅ son números reales y los exponentes son números naturales.
   • Funciones lineales
     • Son funciones polinómicas de la forma: f (x) = mx + b
       • La representación gráfica de una función lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) y b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje y ).
   • Funciones cuadráticas
     • Son funciones polinómicas de la forma: f (x) = ax + bx + c
       • donde a , b y c son constantes y a es diferente de cero. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 o que se abre hacia abajo si a < 0
   • Funciones racionales
     • Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Esto es, q es una función racional si para todo x en el dominio
       • dados los polinomios f (x) y g(x), se tiene: q(x)=f (x) /g(x)
         • El dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, ya que la división por cero no está definida
   • Funciones de proporcionalidad inversa
     • Se expresa a través de expresiones del tipo: y = k/x
       • siendo k un número real cualquiera distinto de cero. La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera.
   • Funciones irracionales
     • Son aquellas funciones algebraicas y/o racionales en que interviene la operación de radicación. A fin de que este tipo de funciones existan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces y, en su caso, de los ceros del denominador.
   • Funciones trascendentes
     • Son aquellas funciones que no son algebraicas. Incluyen las funciones trigonométricas directas, las trigonométricas inversas, las exponenciales y las logarítmicas.
   • Funciones periódicas
     • Una función es periódica si cumple que: f (x) = f (x + p)
       • donde p es un número real diferente de cero, llamado periodo
   • Funciones par e impar
     • Funcion par:
       • Una función par es aquella que cumple con: f (x) = f (− x)
     • Funcion impar
       • Una función impar
         • es aquella que cumple con: f (− x) = − f (x)

2. ÁLGEBRA DE FUNCIONES

   • Encontramos estos diferentes metodos de resolver las funciones, que son:
     • La suma de funciones
       • La resta de funciones
         • El producto de funciones
           • El cociente de funciones
             • La composición de funciones

3. MODELADO DE FUNCIONES

   • Se define como una descripción desde el punto de vista de las Matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, cuyo objetivo es entenderlo ampliamente.
     • El proceso de modelado de funciones es el siguiente:
       • 1. Leer claramente el problema e identificar la función buscada.
         • 2. Hacer un dibujo que muestre las características por modelar
           • 3. Anotar los datos del problema y establecer las fórmulas que son conocidas.
             • 4. Expresar todas las variables en términos de la variable pedida a través de un manejo algebraico.
               • 5. Expresar el comportamiento de la función en términos de la variable pedida.
                 • Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

4. FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA

   • Una función está expresada en forma explícita si una de las variables está despejada.
     • No existe una regla definida para transformar una función expresada en forma implícita en explícita

5. FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

   • Sea una variable t denominada parámetro. Si x = f (t) y y = f (t) son dos funciones con el mismo dominio, entonces se dice que las dos ecuaciones forman un conjunto de ecuaciones paramétricas.
     • Es importante señalar que no todas las ecuaciones paramétricas representan funciones.
       • Para transformar una función expresada por ecuaciones paramétricas en una función explícita de la forma y = f (x) se despeja de ambas el parámetro, se igualan las ecuaciones y se procede a despejar la variable dependiente.

6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

   • La gráfica de una función contiene todos los puntos que representan parejas ordenadas de la forma (x, y) en el plano cartesiano tales que satisfacen la ecuación
     • la gráfica de una función f no puede contener dos puntos con la misma abscisa x y diferentes ordenadas y
     • Como trazar una grafica:
       • Para trazar la gráfica de una función, normalmente se despeja la variable dependiente y posteriormente se determina su dominio. Después, se eligen convenientemente los valores de x para tabular y obtener así suficientes valores de y . Una vez obtenido esto, se ubican los puntos en el plano y se unen.

7. FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS

   • Una función f (x) puede estar definida por intervalos de forma tal que tiene un comportamiento distinto en cada sección, por lo que se pueden presentar cambios bruscos en su desarrollo. Su dominio está dado por la unión de sus intervalos.
     • Un ejemplo, seria:

8. FUNCION INVERSA

   • Sea f una función biyectiva con dominio A y rango B . Entonces su función inversa −1 f tiene domino B y rango A
     • Se define asi:
       • f (y) = x ⇔ f (x) = y, para cualquier Y en B.
         • Esto significa que:
           • Dominio de = −1 f Rango de f
           • Rango de = −1 f Dominio de f

9. Su definicion es:

   • Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro
     • Es util para:
       • Es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita la construcción de una tabla de valores de la misma y su respectiva gráfica, debido a que cada pareja de valores (x, y) de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano.
         • Esta constituida por:
           • 1. Un conjunto A llamado dominio de la función 2. Un conjunto B llamado codominio de la función 3. Una regla de correspondencia que posee tres características a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.
             • Se denota, como:
               • f : A → B

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