Teoría de números

Teoría de números

1. Teoría de Números Primos

   • Números enteros mayores que 1 que solo tienen dos divisores positivos: 1 y sí mismos. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13
     • Teorema fundamental de la Aritmética
       • Todo número entero positivo mayor que 1 se puede descomponer de forma única (salvo el orden) como un producto de números primos
         • Ejemplo: 60 = 2² × 3 × 5
     • Distribución de los primos
       • Se distribuyen los números primos entre los números naturales. Establece que la cantidad de primos menores que un número 𝑛 n, representada como 𝜋 ( 𝑛 ) π(n)
     • Conjeturas famosas
       • Conjetura de los números primos gemelos
       • Hipótesis de Riemann
       • Conjetura de Goldbach
     • Primalidad y criptografía
       • La verificación de si un número es primo (test de primalidad) es esencial en criptografía, especialmente en algoritmos como RSA, que se basa en la dificultad de factorizar grandes números compuestos en sus factores primos
     • Funciones relacionadas
       • Función π(n): Cuenta cuántos primos hay menores o iguales que 𝑛 n.

2. Divisibilidad

   • Número que al dividirse con otro no deja residuo
     • Se lee: "b divide a" o "a es divisible por b".Ejemplos: 15 es divisible por 3 → 3 ∣ 15 3∣15 porque 15 ÷ 3 = 5 15÷3=5 sin residuo. 14 no es divisible por 5 → 5 ∤ 14 5∤14 porque 14 ÷ 5 = 2 14÷5=2 con residuo 4.
       • 15 es divisible por 3 → 3 ∣ 15 3∣15 porque 15 ÷ 3 = 5 15÷3=5 sin residuo. 14 no es divisible por 5 → 5 ∤ 14 5∤14 porque 14 ÷ 5 = 2 14÷5=2 con residuo 4.

3. Congruencia

   • Dos números enteros a y b son congruentes módulo m (donde 𝑚 m es un número entero positivo) si tienen el mismo residuo al dividirse entre m
     • a≡b (mod m)
       • Ejemplos 17 ≡ 5   ( mod  12 ) 17≡5 (mod 12)  Porque 17 ÷ 12 = 1 17÷12=1 y sobra 5;  También 5 ÷ 12 = 0 5÷12=0 y sobra 5 → mismo residuo. 20 ≡ 2   ( mod  6 ) 20≡2 (mod 6)  Porque tanto 20 como 2 dejan residuo 2 al dividir entre 6.

4. Aritmética Modular

   • Se basa en el concepto de congruencia y trata con los residuos que quedan al dividir números enteros por un número fijo llamado módulo
     • La aritmética modular estudia operaciones como suma, resta y multiplicación bajo una congruencia: 𝑎 ≡ 𝑏   ( mod  𝑚 ) a≡b (mod m)
       • Los residuos posibles al dividir por 5 son: 0, 1, 2, 3, 4 (nunca aparecen números mayores que 4 en módulo 5) Veamos algunas operaciones módulo 5: 3 + 4 = 7 ≡ 2   ( mod  5 ) 3+4=7≡2 (mod 5) 2 ⋅ 3 = 6 ≡ 1   ( mod  5 ) 2⋅3=6≡1 (mod 5) 4 − 1 = 3 ≡ 3   ( mod  5 ) 4−1=3≡3 (mod 5)

5. Álgebra de números

   • Estudia números enteros y racionales dentro de estructuras algebraicas más generales, como los campos numéricos y sus extensiones. Se enfoca en entender propiedades aritméticas más profundas utilizando herramientas del álgebra abstracta, como grupos, anillos y cuerpos.
     • Un número 𝛼 α es algebraico si es solución de una ecuación como: 𝑎 𝑛 𝛼 𝑛 + 𝑎 𝑛 − 1 𝛼 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑎 0 = 0 a n ​ α n +a n−1 ​ α n−1 +⋯+a 0 ​ =0

6. Se define como: La rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los números enteros

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