ESPACIO VECTORIAL

ESPACIO VECTORIAL

1. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

   • CONCEPTO
     • DEPENDENCIA LINEAL
       • Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solución No trivial. Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.
     • INDEPENDENCIA LINEAL
       • El concepto de independencia lineal se puede ver con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2, 3) y el vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior nos indica que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal no trivial de dos vectores v1 y v2. No trivial hace referencia a que los coeficientes de cada vector no son todos cero.
       • Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la ecuación: c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0 Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0
   • TEOREMA
     • Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes, si y solo si, uno es múltiplo escalar del otro.

2. SUBESPACIO

   • CONCEPTO
     • Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales en si, haciendo una analogía, los subespacios son Espacios Vectoriales Hijos y el Espacio Vectorial de donde se obtuvieron son el Espacio Vectorial Padre. Entonces los Hijos Heredan las características del padre, así los subespacios heredan las operaciones del espacio que los origino.
     • Sea el subconjunto U no vacío contenido en un espacio vectorial V, asumiendo que U es espacio vectorial en si (cumple los 10 axiomas) Entonces se dice que U es un subespacio de V. Donde U ≤ V
   • TEOREMAS
     • INTERSECCION ENTRE SUBESPACIOS
       • En un espacio vectorial puede haber gran cantidad de subespacios propios. La situación es determinar que sucede cuando dos o más subespacios se interceptan en dicho espacio.
       • Sean V1 y V2 dos subespacios del espacio vectorial V, entonces la intersección V1 ∩ V2 pertenecen también a V.
     • PRUEBA DE SUBESPACIO
       • Sea U un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V, entonces U se considera un subespacio de V si, y solo si, se cumplen las siguientes propiedades de cerradura. 1. Si u y v son vectores que están en U, entonces u + v estará en V. 2. Si u es vector en U y k un escalar, entonces ku estará en U.

3. ESPACIO VECTORIAL

   • CONCEPTO
     • Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, sobre los que están definidas las siguientes operaciones: 1. Suma Vectorial 2. Multiplicación por Escalar. Por otro lado, sea u, v, w,… elementos que están en V; además, los escalares c, d, e,… Entonces V se le llama espacio vectorial, si cumple los axiomas.
   • PROPIEDADES
     • Axiomas de la Suma:
       • 1. Si u ∈ V y v ∈ V entonces: (u + v) ∈ V Ley Clausurativa (cerradura suma) 2. u + v = v + u Ley Conmutativa 3. u + (v + w) = (u + v) + w Ley asociativa 4. El vector 0 ∈ V Para todo u ∈ V → u + 0 = u Ley Modulativa (Neutro aditivo) 5. Para todo u ∈ V existe un vector -u ∈ V tal que u + (-u) = 0 Inverso Aditivo.
     • Axiomas de la Multiplicación por Escalar:
       • 6. Si u ∈ V y c un escalar, cv ∈ V Ley Clausurativa (cerradura multiplicación) 7. c (u + v) = cu + cv Primera Ley Distributiva 8. (c + d) u = cu + du Segunda Ley Distributiva 9. c (d * u) = (c * d) u Ley Asociativa 10. 1 * u = u Ley Modulativa (Identidad escalar)
   • EJEMPLO

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