Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales

1. Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. ´ Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

   • Núcleo e imagen de una transformación lineal
     • A una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por F de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva
   • Composición de transformaciones lineales
     • La composición de funciones usual puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal.
   • Espacios vectoriales de dimensión finita
     • Al estudiar espacios vectoriales de dimensión finita en los capítulos anteriores, dijimos que podríamos trabajar en un K-espacio vectorial arbitrario de dimensión N “como si fuese” Kn simplemente considerando vectores de coordenadas.
   • Teorema de la dimensión
     • El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio.
       • Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).
   • Proyectores
     • Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f : V → V se llama un proyector si f ◦ f = f.
   • Representación matricial
     • Uno de los primeros ejemplos de transformaciones lineales que hemos visto son aquellas de la forma f : Kn → Km, f(x) = A.x con A ∈ Km×n (cuando quede claro por el contexto, suprimiremos el signo de t , escribiendo A.x en lugar de (A.xt ) t ).
       • Matriz de una transformación lineal
         • Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f : V → W queda un´ıvocamente determinada por los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V . Además, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.
       • Matriz de la composición y cambios de bases
         • La composici´on de dos transformaciones lineales “se traduce” como la multiplicacinó de sus matrices.
   • Rango de una matriz
     • Utilizando la relación entre matrices y transformaciones lineales introduciremos un nuevo invariante asociado a una matriz: su rango.