Conicas

Conicas

1. La elipse

   • La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha ley también es de aplicación a otros pequeños cuerpos del sistema solar llamados planetas menores o asteroides.
   • En la animación se muestra, en azul, la órbita prácticamente circular de la Tierra (excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el asteroide numerado 433 conocido con el nombre de "Eros".
   • La órbita de Eros está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica. Lo que se observa en la animación es la proyección de la elipse descrita por el cometa sobre este último plano.
   • Las esferas azul, roja y amarilla indican sólamente la posición de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos sería visible en la animación en el caso de que se representarán a escala.
   • El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen órbitas próximas a la de la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde también encontrará multitud de enlaces a otras páginas relacionadas con el tema.
   • La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la suma de las distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
   • Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la elipse verifican
     • simplificando esta ecuación se llega a
   • Esta es la ecuación reducida de la elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de simetría de la elipse y el origen de coordenadas es su centro.
     • Encontremos la ecuación focal de la elipse
       • Agrupando términos en la última expresión
       • En esta ecuación focal tenemos que el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta paralela al eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es estrictamente menor que 1 puesto que c=(a2-b2)1/2< a.
   • Una cónica propia es una elipse si la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando e=0 la elipse es una circunferencia: la excentricidad en la elipse mide, por tanto, lo que ésta se aleja de la circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y son a su vez el centro de la cónica. En la animación siguiente se ve como varía la elipse al ir disminuyendo su excentricidad.

2. La hipérbola

   • Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol
   • En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468) en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta 2006. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.
   • La órbita de C/2002 E2 está contenida en un plano prácticamente perpendicular al que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica Para la animación se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita de la Tierra se vea de perfil.
   • El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la hipérbola descrita por el cometa Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
   • La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano para los que la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante
   • Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la diferencia de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la hipérbola verifican (c>a)
     • operando en esta ecuación se obtiene
   • De igual forma a como se hizo para la elipse, se consigue la ecuación focal de la hipérbola
     • pero ahora c2=a2+b2. La excentricidad en la hipérbola es e=c/a >1. Luego las cónicas no degeneradas de excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.

3. Parabola

   • Los cometas son pequeños cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen órbitas altamente elípticas e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol.
   • En la animación se representa en rojo la evolución del cometa C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su órbita parabólica (excentricidad 1,000) en un lapso temporal que abarca desde el año 1999 hasta 2004. En azul está representada la órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa.
   • La órbita de C/2002 B2 LINEAR está contenida en un plano que forma un ángulo de casi 153 grados con el que contiene a la órbita de la Tierra, también llamado plano de la eclíptica . Lo que se observa en la animación es la proyección de la parábola descrita por el cometa sobre este último plano.
   • El punto amarillo indica la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la órbita casi circular de la Tierra como de la parábola descrita por C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja indican sólamente la posición de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la animación en el caso de que se representasen a escala.
   • La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz).
     • Supongamos que el foco es F=(p/2,0) con p>0 y la recta directriz es x=-p/2, entonces los puntos (x,y) de la parábola verifican la ecuación
       • Operando en esta ecuación llegamos a
         • Para este caso la ecuación focal queda
           • La excentricidad en la parábola es 1.

4. circunferencia

   • Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
   • si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
     • x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
       • Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
         • x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
           • Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3 E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6 La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

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