Aproximación Polínomial y funcional

Aproximación Polínomial y funcional

1. Aproximación polinomial simple

   • La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería ya que muy frecuentemente se debe recurrir a información en forma tabular y muchas veces no está el dato buscado.Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:

2. Polinomios de Lagrange

   • Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
     • En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) y y3l3(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

3. Aproximación polinomial con mínimos cuadrados

   • Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrarla función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de lasdiferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datosmedidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (poriteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

4. Aproximación de Newton en diferencias divididas

   • En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
     • l método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente

5. Polinomio de Newton en diferencias finitas

   • En el caso particular de que las abcisas de los nodos de interpolaci´on sean equidistantes la expresi´on del polinomio de interpolaci´on de Newton en diferencias divididas adopta otras formas que se han usado mucho, la f´ormula en diferencias progresivas y la f´ormula en diferencias regresivas. Antes de desarrollarlas necesitamos de algunas definiciones previas. Dado un conjunto de puntos (xi , yi), 0 6 i 6 n donde yi = f(xi) se define diferencia progresiva de orden 1 en yk y se denota por ∆yk a ∆yk = f(xk + h) − f(xk) = f(xk+1 − f(xk) = yk+1 − yk = ∆1 yk y diferencia regresiva de orden 1 en yk y se denota por ∇yk a ∇yk = yk − yk−1 = ∇1 yk

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