“Límite y continuidad de las funciones"

“Límite y continuidad de las funciones"

1. 1.Conceptos basicos y definiciones

   • La nocion de limite hace su aparicion cuando nos tomamos el tiempo de analizar un proceso que se encuentra en constante cambio
     • Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a
       • En términos matemáticos
       • existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda)
         • límite por la derecha (x->a+)
         • límite por la izquierda (x->a-)
           • para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales
   • Concepto de Continuidad
     • Una función f es continua a a si limx → a f(x) existe, y es igual a f(a).
       • La función f es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio
         • Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un sólo trazo
           • Si son necesarios varios trazos
             • Es una funcion discontinua
               • Es sencillo detectarlos, ya que son puntos en los que la gráfica se "rompe"
   • CONCEPTOS BÁSICOS y USOS
     • Función
       • es una relación entre un conjunto dado X y otro conjunto Y
         • DOMINIO
           • es el conjunto de todos los valores para los cuales la función f está definida
         • RANGO
           • es el conjunto de todos los valores que f toma
       • asíntota
         • línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegar nunca a encontrarla
     • Integral
       • es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños
     • Diferencial
       • es un objeto contundente matemático que representa la parte intermediaria del cambio en la factorización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable dependiente de cada ecuación
     • Derivada
       • es la razón de cambio instantánea con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente

2. 2.Historia, exponentes e ideas

   • La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas
     • PASO A LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL
       • Los matemáticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite
         • Estos eran algunos matematicos
           • Euler (1707-1743)
             • Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales.
           • D'Alembert (1717-1783)
             • crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton
           • Lagrange (1736-1813)
             • trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite
       • Weierstrass (1815-1897)
         • contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una definición satisfactoria del concepto de límite
           • Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0, la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0
     • PERIODO CLÁSICO
       • Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite
         • Se basa en la noción de infinito potencial, la falta de un sistema de numeración adecuado y la discretización
           • Para destacar
             • Método de exhaución
               • Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hice yo en la cuadratura de la parábola
                 • Arquimedes. (287 a. C.- 212 a. C.)
                 • Eudoxo. (390 a. C.- 337 a. C.)
               • Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada
     • REVOLUCIÓN CIENTÍFICA
       • Esta etapa se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos
         • aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados.
           • Algunos de los problemas físicos que se trataron fueron
             • Dada la fórmula del espacio en función del tiempo, obtener la velocidad y aceleración en cualquier instante
             • Obtención de la tangente a una curva
             • Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc
             • Estudio de centros de gravedad y atracción gravitatoria
         • METODOS DESTACABLES
           • Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630)
             • La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos.
           • Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647)
             • Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos
           • Método de Fermat para buscar extremos de curvas
             • consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+ε) están tan próximos que se pueden tomar iguales
               • El método consiste en hacer f(x+ε)=f(x), dividirlo por ε y tomar ε=0. Si bien no habla de límite, está bastante cerca
                 • Pierre de Fermat (1601-1665)
           • Método de Barrow
             • Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y Δy actuales
               • Isaac Barrow (1630 – 1677)
           • Método de las tangentes
             • considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto P=(x, f(x)) y, para ello, calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de triángulos
         • NEWTON Y LEIBNITZ
           • Leibniz (1646-1716)
             • contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias
               • La noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser una herramienta para resolver problemas
           • Newton (1648-1727)
             • es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal
               • el límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles

3. 3.Sistemas de representacion

   • En la siguiente sección procedere a representar de distintas maneras los conceptos de límite y continuidad
     • Representación Simbólica
       • La representación simbólica del concepto de límite y de continuidad está directamente relacionada con la representación simbólica de función
         • Ejemplos:
     • Representación Gráfica
       • Este sistema de representación se manifiesta cuando el alumno reconoce a partir de la gráfica de la función la existencia de límite, la continuidad o el tipo de discontinuidad en un cierto punto así como las asíntotas que tenga la función
         • Ejemplo:
     • Representación Numérica
       • La representación numérica de los conceptos de límite y continuidad se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes
         • Ejemplo:
     • Representación Verbal
       • La representación verbal del concepto de límite y continuidad se manifiesta en la comunicación oral de resultados
         • Ejemplo:

4. 3.Fenomenos e intervencion del limite

   • Fenómenos cotidianos
     • utilizar los limites en la adminstración es como se elaboran gráficas
     • los límites de una provincia, por lo tanto una frontera es un limite
     • si vas a construir una obra en la que debes realizar aproximaciones con un margen de error mínimo debes usar limites
   • Intervención del limite en
     • Cambios del Movimiento
       • En un tiro a media distancia, Si el portero fuese un físico, sabría que posible trayectoria llevaría la pelota resolviendo una simple ecuación, y en base a los límites determinar el punto en que la pelota es atajable.
     • Velocidad de Crecimiento
       • Modelos de crecimiento poblacional están términos de calculo
     • Biologia
       • Adpectos del desarrollo morfológico de los organismos pueden predecirse a partir de modelar señales genético-químicas como ecuaciones diferenciales de reacción-difusión
     • Economia
       • nos permiten determinar el comportamiento de ciertas funciones económicas y administrativas (demanda, oferta, costos, etc.)
     • Quimica
       • Se utiliza este concepto a la hoar de reaccionar dos compuestos ya que hay que tener claron cual se acaba primero y a este se le llama reactivo limite
     • Ingenieria
       • En la ingenieria mecatronica, se pudo concluir que los límites nos ayudan a encontrar el máximo de direcciones que puede gestionar un microprocesador para el diseño de memorias
     • Movimiento de losplanetas
       • Las naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas dentro de entornos de gravedad cero.

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