Limite y continuidad

Limite y continuidad

1. Definiciones y conceptos basicos

   • ¿QUÉ ES UN LIMITE?
     • es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones.​ En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales
       • Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a
         • LIMITES LATERALES
           • existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda)
         • Propiedades de los limites
           • Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades: -El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites. -El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.- El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites. -El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero. -El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.
             • • fenómenos cotidianos Donde interviene el concepto limite
                 • Para encontrar áreas y volúmenes tanto máximos como mínimos
                 • También los límites permiten hacer cálculos para conocer cuándo se agotará un recurso, como por ejemplo el petróleo, según el consumo en un determinado período de tiempo
                 • En economía el límite ayudaría a conocer el valor máximo o mínimo que puede adquirir el dinero en el mercado financiero en un determinado período
               • interviene la idea de límite y continuidad
                 • cambios del movimiento
                   • Para hallar la corriente eléctrica, la razón de cambio y otros conceptos físicos muy importantes que aplicamos en la vida cotidiana
                 • velocidad de crecimiento
                   • En evolución y genética de poblaciones, la ecuación de Price se usa para estudiar los cambios en las características heredables en función de su ventaja selectiva.
                 • biología
                   • Usada para evaluar cambios en una poblacion
                 • economía
                   • Para definir conceptos como la ganancia máxima
                 • ingeniería
                   • deben conocerse los límites para saber las aproximaciones posibles con un margen mínimo de error
                 • química
                   • En una reaccion, calcular el reactivo que se acaba primero; mejor conocido como reactivo limite.
                 • movimiento de los planetas
                   • Las naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas dentro de centros de gravedad 0
         • Continuidad
           • Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:
             • ---La función existe en a. ---Existe límite de f(x) cuando x tiende a a. ---El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:
             • Discontinuidad
               • Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto
   • Conceptos Basicos
     • Funcion
       • Dominio
         • es el conjunto de todos los valores f para los cuales la función está definida
       • Rango
         • es el conjunto de todos los valores que f toma
       • Indeterminacion
         • expresión algebraica que involucra límites del tipo:
       • Asintota
         • línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegar nunca a encontrarla
       • Sucesión
         • es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza
           • A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición

2. HISTORIA Y PERSONAJES

   • La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas, que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida
     • PERIODO CLÁSICO (EUDOXO DE CNIDO Y ARQUÍMEDES (S. V A.C)
       • Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite
         • Se basa en la noción de infinito potencial, la falta de un sistema de numeración adecuado y la discretización
           • Para Destacar
             • Método de exhaución
               • Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes en la cuadratura de la parábola
                 • EUDOXO DE CNIDO
               • Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada
     • REVOLUCIÓN CIENTÍFICA (DESDE KEPLER (S. XVI) HASTA NEWTON Y LEIBNITZ (S. XVIII))
       • Esta etapa se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos, aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados
         • Los métodos que aparecen a continuación fueron el germen del análisis infinitesimal
           • Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630)
             • Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas
               • La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos
           • Método de Fermat para buscar extremos de curvas
             • Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+ε) están tan próximos que se pueden tomar iguales
           • Método de Barrow (1630-1677)
             • Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y Δy actuales
       • NEWTON Y LEIBNITZ
         • Newton (1648-1727)
           • es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal
         • Leibnitz (1646-1716)
           • La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de límite
             • La noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser una herramienta para resolver problemas
     • PASO A LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL (SEGUNDA MITAD DEL S.XVIII)
       • Los matemáticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite
         • Aportes
           • Euler (1707-1743)
             • Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales
           • D'Alembert (1717-1783)
             • “Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable.”
         • El aporte mas importante
           • Weierstrass (1815-1897)
             • Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática, definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día
               • "Si, dado cualquier ε, existe un n0, tal que para 0<n<n0, la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0".

3. Representaciones

   • Estos tipos de representaciones son los siguientes: representación simbólica, gráfica, numérica y verbal
     • Simbolica
       • La representación simbólica del concepto de límite y de continuidad está directamente relacionada con la representación simbólica de función
     • Grafica
       • Este sistema de representación se manifiesta cuando el alumno reconoce a partir de la gráfica de la función la existencia de límite, la continuidad o el tipo de discontinuidad en un cierto punto así como las asíntotas que tenga la función
     • Numerica
       • La representación numérica de los conceptos de límite y continuidad se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes
     • Verbal
       • La representación verbal del concepto de límite y continuidad se manifiesta en la comunicación oral de resultados

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