Cálculo Vectorial

Cálculo Vectorial

1. Es un campo de las matemáticas referido al estudio de vectores en dos o más dimensiones, desde un punto de vista del cálculo diferencial e integral.

   • Operaciones
     • En el Cálculo Vectorial hay 4 operaciones de suma importancia
       • Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial al rotar alrededor de un punto.
       • Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos.
       • Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud.
       • Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar.

2. Historia

   • El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones por parte de William Rowam Hamilton, Peter Guthrie Tait y James Clerk Maxwell, entre otros.
     • Como los conceptos de los cuaterniones eran demasiados complicados, los científicos decidieron considerar la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis vectorial.

3. Magnitud

   • Una magnitud es todo aquello que se puede medir.
     • Magnitudes Escalares: se definen mediante un número o valor y una unidad de medida. Por ejemplo: el tiempo, la temperatura, la masa.
       • Magnitudes Vectoriales: son aquellas que quedan definidas mediante un módulo, una dirección y un sentido. Por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza.
         • Vector
           • Un vector es un ente matemático que se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro de un espacio euclidiano.
             • Elementos
               • Modulo: es el tamaño o longitud del vector y se representa entre barras.
               • Dirección: representa la orientación del vector respecto al sistema de coordenadas cartesianas.
               • Sentido: Nos indica hacia qué lado de la dirección o línea de acción actúa el vector. Gráficamente vendría siendo la cabeza de la flecha.
           • Campo Escalar
             • Un campo escalar una función que ha cada punto de coordenadas x, le asigna un numero.
             • Campo escalar Bidimensional. ϕ: R^2→R; ϕ=ϕ(x,y)
               • Campo Escalar Tridimensional. ϕ: R^3→R; ϕ=ϕ(x,y,z)
                 • Campo Escalar n-dimensional. ϕ: R^n→R; ϕ=ϕ(x_1,x_2,…,x_n )
             • Línea de Nivel (Equipotencial)
               • Las líneas equipotenciales son las trayectorias les horizontales del campo vectorial ∇ (gradiente) ϕ
               • Une conjunto de puntos sobre los cuales la función vale lo mismo.
             • Campo escalar= ϕ(x,y)=x^2+y^2
             • Lineas Gradiente
               • Las líneas gradiente son las trayectorias ortogonales, y estas en la circunferencia son los rayos por el origen.
       • Tipos

4. Espacio Vectorial

   • Es una estructura algebraica que se crea a partir de un conjunto no vacío y debe de cumplir con dos operaciones, una interna y una externa.
   • A los elementos de los espacios vectoriales se les llaman vectores, en base a los mismos, se pueden hacer multiplicaciones y sumas, las cuales deben de cumplir con los siguientes axiomas:
     • Axiomas de la suma o ley de composición interna
       • Propiedad asociativa
         • Conmutativa
           • Que exista el elemento neutro.
             • Que exista el elemento inverso
     • Axiomas de la multiplicación o ley de composición externa
       • Propiedad asociativa.
         • Elemento neutro.
           • Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial.
             • Propiedad distributiva respecto a la suma escalar.
   • Subespacio vectorial.
     • Es un subconjunto de un espacio vectorial, que tiene las mismas características de un espacio vectorial.
   • Espacio vectorial con producto interno
     • Tenemos tres vectores U, V y W y sea a un producto interno en V es una función que asocia un número real (u,v) con cada par de vectores y cumple con cada uno de los siguientes axiomas:
       • (U, v) =(V,u)
         • (U,V + W) = (u,v) + (u,w)
           • C(u,v)= cu,v

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