MATRIZ

MATRIZ

1. Es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices.

   • Tipos de Matrices
     • Traspuesta:Se llama matriz traspuesta de na matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A
     • Submatriz:A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.
     • Simétrica: una matriz simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.
     • Unitaria:Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: {\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,}{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,} donde {\displaystyle I_{n}\,}{\displaystyle I_{n}\,} es la matriz identidad y {\displaystyle U^{*}\,}{\displaystyle U^{*}\,} es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada {\displaystyle U^{*}\,}{\displaystyle U^{*}\,}. Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.
     • Antisimétrica o Hemisimétrica: una matriz en antisimetrica cando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto siendo los elementos de la diagonal principal nulos
     • Ortogonal:es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.
     • Normal: Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si A*A=AA* donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A.
     • Conjugada: es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.
     • Inversa: LA matriz inversa de una matriz dada A, es otra, que se anota A^-1 y que cumple A*A^-1=A^-1*A=l.
     • Invertible:También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular. Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In, donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
     • Regular: es na matriz cuadrada que tiene inversa y como consecuencia su determinante es diferente de cero.
     • Singular o Degenerada: También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.
     • Opuesta:Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.
     • Permutación: es la matriz cuadrada con todos sus nxn elementos iguales a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.
     • Nula o cero: es na matriz con todos sus elementos nulos , o sea de valor cero.
     • Iguales: Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,..., n j=1.2,...,m.
     • Hermitiana:Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.
     • Definida Positiva:Es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.
     • Identidad: se llama matriz identidad de orden n y se nota en na matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
     • Triangular Inferior: se dice que una matriz es triangular inferior cuando todos los elementos por encima de la ultima fila son nulos
     • Triangular Superior: Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior cuando si todos los elementos que están por debajo de la diagonal superior son nulos.
     • Escalonada:Es toda matriz en la que existe alguna fila nula, esta se encuentra al final de la matriz y el primer valor diferente de cero de una fila se encuentra siempre a la derecha del primer valor diferente de cero en cualquier fila anterior, exceptuando la primera fila de la matriz
     • Escalar:es na matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
     • Lineal o Vertical:Es aquella que tiene mas filas que columnas
     • Rectangular:Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas. Puede ser de dos formas; vertical u horizontal, y/o puede ser una matriz diagonal.
     • Columna:caso especial en el que posee una sola columna vertical.
     • Horizontal:tiene mas columnas que filas.
     • Cuadrada:si tiene el mismo numero de filas que de columnas
     • Fila:Posee na única fila horizontal
     • Diagonal:Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no.

2. operaciones con matrices

   • Multiplicación
     • Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad. Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que: RX ≠ XR Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que: RX=XR Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Multiplicacion De Matrices El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos. Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2. Matriz Por Un Escalar Cada elemento de la matriz queda multiplicado por el escalar z=2.
   • Suma y Resta
     • La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices. En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices. En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en: Las matrices compartan la misma dimensión. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas. Suma Y Resta De Matrices Como hemos dicho, primero comprovamos que sean matrices de igual dimensión. En este caso, son dos matrices 2×2. A continuación, sumamos los elementos que tienen las mismas coordenadas. Por ejemplo, (d) y (h) comparten la misma posición en matrices distintas. La posición, denotada como P, para (d) y (h) es P22.