Funciones

Funciones

1. Una función es una relación entre 2 conjuntos, es la relación entre un conjunto dado X que seria el dominio y otro conjunto Y que seria el contra dominio. A cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del contra dominio f(x). La expresión f(x) indica el valor de la función f asociado al número x

2. Tipos

   • Algebraicas
     • Polinómica
       • Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio. El dominio de las f. polinómicas son todos los números reales. el rango será también todo el conjunto de los reales, f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+...anxn.
         • F. constante
           • Una función es constante si la variable dependiente Y toma el mismo valor a para cualquier otro elemento del dominio, la variable independiente es . La gráfica de una función constante es paralela al eje X. f(x)=a siendo a constante
       • F. Grado 2 Afín
         • Una f. afín es una función polinómica de grado que no pasa por el punto (0,0). Las funciones afines son rectas definidas por la formula f(x)=mx+n. Los escales m y n son diferentes de 0.
         • F. identidad
           • f(x)=x, la f. identidad es una función lineal de m=1 que pasa por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, es su bisectriz.
             • F. inversa
               • Es aquella que hace el camino inverso, asignado a los elementos de Y elementos de X. Normalmente diremos que f-1 es la inversa de f si: f(x)=y entonces f-1(y)=x. También podemos definir una f. inversa a partir de la composición de funciones f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la f. de identidad. (g o f )(x)=(f o g)(x)=x. para que la funcion f tenga inversa debe de ser inyectiva además tanto f como f-1 debe de ser biyectiva .
           • F. grado 2 Cuadrática
             • En la f. cuadrática el mayor exponente es x elevado a la 2. Esta función puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Las raíces de una función son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X.
             • F. grado 3 Cubica
               • Son las f en las cuales el mayor exponente es 3. Una f. cúbica puede tener de tres a una raíz. Las raíces de una función son elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x)=0). Su domino y rango son los números reales.
               • F. grado 4 Polinomica
                 • Una f. de grado 4 es el conjunto de números reales. f(x)=ax4+bx3+dx+e e infinito) cuando a>0, o bien (-infinito, M] cuando a<0, donde m y M son el mínimo y máximo de f.
     • Racional
       • La f. racionales son el cociente irreducible de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón. El dominio de una f. racional son todos los números reales excepto los valores de la variable x que anula al denominador (q(x)=0), excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.
       • F. de proporcionalidad inversa
         • Es cuando la variable dependiente y es igual a una constante dividida por la variable independiente x. k es el coeficiente de proporcionalidad inversa. si k>0, la f es decreciente y si k<0 es creciente.
     • Irracional
       • o función raíz, es cuando la variable dependiente y se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x. Cuando el índice de la raíz n es par el dominio de la f son los valores de x que hacen al radicando 0 mayo que 0, cundo es impar, el dominio son los números reales.
   • Trascendentes
     • F. exponencial
       • Es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. f(x)=ax. Siendo a un real positivo, a>0, y diferente de 1, a diferente de 1
     • Logaritmica
       • Estas funciones están formadas por un logaritmo de base a, y es dela forma f(x)=loga(x). siendo a un real positivo, a>0, y diferente de 1.Dominio son todos los números reales positivos. El contra dominio es el recorrido, don todos los números reales.
     • Trigonométricas
       • Seno
         • Coseno
           • Tangente
             • Cosecante
               • Secante
                 • Cotangente
                   • La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto tan a*cot a=1. Su abreviatura es cot, es periódica de período 180°. Su dominio son los reales excepto a*pi, siendo a un número entero y su contra dominio son los reales
                     • F. inversa: arccot[x)
                 • La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec a*cos a=1. La secante de un ángulo a de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (h) y el cateto adyacente (b). Su abreviatura es sec, es periodica de período 360°. Su dominio son los reales excepto pi/2+a*pi y su contra dominio es [-infinito,-1]u[1,infinito]
                   • F. inversa: arcsec[x)
               • La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc a*sen a=1. La cosecante del ángulo a de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (h) y el cateto opuesto (a). La f cosecante es periódica de período 360°, su dominio son los reales excepto a*pi, siendo a un número entero y su contra dominio [-infinito,-1] u [1, infinito]
                 • F. inversa: arccsc[x)
             • La tangente de un ángulo a es la razón entre el cateto opuesto(a) y el adyacente(b). Su abreviatura es tag, la f tangente es periódica de período 180°. Su dominio son los reales excepto pi/2+a*pi, y su contra dominio son todos los reales
               • F. inversa: arctan[x)
           • El coseno de un ángulo a se define como la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (h). Su abreviatura es cos, la f coseno es periódica de período 360°. Su dominio son todos los reales y su contra dominio es de [-1,1]
             • F. inversa: arccos[x)
         • El seno de un ángulo a se define como la razón entre el cateto opuesto(a) y la hipotenusa (c), abreviatura es sen, es una función periódica de período 360° por lo que esta sección se repetirá en los diferentes períodos. su dominio son todos los reales y el contra dominio es [-1,1]
           • F. inversa : f(x)arcsin[x)
   • Especiales
     • F. Parametrica
       • Una funcion con una entrada unidimensional y una salida multidimensional puede pensarse como una que dibuja una curva en el espacio. A la entrada se le llama parámetro.
       • F. Compuesta
         • Se define la función compuesta de dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, y designada por (g o f)(x), a la función que transforma x en g[f(x)]: x-f-f(x)-g-g[f(x)]=(g o f)(x)
         • F. valor absoluto
           • Esta función devuelve el valor numérico del segundo término, pero afectando siempre del signo positivo. Tiene sentido para caracterizar distancias, longitudes. La expresión es: f(x)=|x| y la gráfica son dos rectas simétricas en el primer y segundo cuadrante, con pendientes 1 y -1 que se cortan en el origen (0,0)
           • F. Escalonada
             • Una f. escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a,b] en que esté definida por un número finito de discontinuidades c1<c2<...<cn, y en cada intervalo abierto es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos Ck.
   • F. a trozos
     • También llamadas función por partes, si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozos) en el que se encuentra la variable independiente (x). La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x.
   • Otras
     • F. Continua
       • Es una f. continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.
       • F. Discontinua
         • Es discontinua cuando presenta algún punto en el cual existe un salto y la gráfica se rompe
         • F. Derivada
           • La función derivada f´ recoge todos los valores de las derivadas de f existentes en todos los puntos de su dominio. La funcion derivada f´ de una funcion f derivable en i , cuando el incremento de la variable x E I tiene a cero, es el cociente entre el incremento de la funcion inicial y el incremento de la variable independiente.
           • F. inyectiva
             • Es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde . Es decir, no puede haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre uno a uno. En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y.
             • F. Sobreyectiva
               • Una función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Dicho de otra manera su dominio y contra dominio son iguales.
               • F. Biyectiva
                 • Es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva, es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva). No se puede quedar sin ningún elemento final Y sin asociarse con un único elemento X.
                 • F. Explicita
                   • Es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente está despejada, es decir, y=f(x). Seria y=2x^2-2
                   • F. Implicita
                     • Es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente y no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de la variable independiente x. Sería yx^3-y^2x-2x+12=0
                     • Limite de f(x)
                       • El límite de f(x) es cuando x tiende a c es igual que L si y solo si para todo número real épsilon mayor que cero existe un número real delta mayo que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que delta, entonces la imagen de x y L es mejor que épsilon unidades.
                       • F. Integral
                         • Sea F(x) una función continua en el intervalo [a, b] . A partir de esta función se define la función integral: que depende del límite superior de integración. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y=f(x), el eje de abscisas y las rectas t=a y t=x.
                         • F. Sucesión
                           • Una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales y es por tanto una función discreta. Por ejemplo, la sucesión (1,2,3) es una sucesión en letras que difiere de la sucesión (C,A,B).

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