Tercer corte análisis vectorial

Tercer corte análisis vectorial

1. REGLA DE LA CADENA

   • Dada una función de dos variables W=f(x,y), donde a su vez las variables independientes x,y dependen de otra (u otras) variables (s,t), la regla de la cadena permite calcular la variación de la variable dependiente “W” respecto a las variables “s,t”.
     • La regla de la cadena permite encontrar las razones de cambio
       • Para ello se utiliza el diagrama de árbol que se presenta a continuación

2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA

   • Se utiliza para calcular la derivada parcial de una función de dos o más variables cuando la variable dependiente no está dada de manera explícita.
     • Donde
       • cada vez que se deriva una expresión que contiene a la variable dependiente “z” se multiplica por su derivada interna que puede ser ∂z/∂x o ∂z/∂y según corresponda.

3. Extremos de funciones máximos y mínimos

   • Dada una función de dos variables z=f(x,y), puede tener máximos y mínimos relativos como se puede observar en la siguiente gráfica
     • Un máximo relativo se dará en un punto (a,b) para el cual el valor f(a,b) sea mayor que cualquier f(x,y) sobre una región R en el plano cartesiano.
     • Un mínimo relativo se dará en un punto (a,b) para el cual el valor f(a,b) sea menor que cualquier f(x,y) sobre una región R en el plano cartesiano.

4. PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES

   • Son aquellos puntos de coordenadas (a, b) donde posiblemente podemos encontrar un máximo o un mínimo.

5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

   • Es un método utilizado para encontrar los extremos (máximos o mínimos) de una función que está sometida a una restricción. Dada una función f(x,y)=z que se encuentra sometida a una restricción dada por la función g(x,y)=0 En los puntos extremos tendremos que los gradientes de las dos funciones serán paralelos, lo que se puede expresar como:
     • Para obtener los extremos de la función sujeta a la restricción se deben resolver el sistema de ecuaciones:
     • Los puntos solución del sistema de ecuaciones corresponderán a las coordenadas del extremo de la función.

6. INTEGRACIÓN PARCIAL

   • Dada una función de dos variables
     • Sus derivadas parciales serán:
       • Se realiza una trasposición
         • Se integra
           • El resultado de las integrales parciales realizadas, corresponde a funciones de dos variables, pero si a dichas integrales parciales se le colocan límites de integración, el resultado de la integral resultará ser una función de una sola variable

7. INTEGRALES ITERADAS

   • Son integrales sucesivas, ambas integrales son definidas; una de ellas (la primera a resolver puede tener límites constantes o variables) y la última integral, tiene solo limites constantes y su integrando está dado en términos de una sola variable.
     • Los límites de integración de un integral doble dan lugar a regiones (R) que pueden ser “Tipo I o Tipo II” y estarán en el plano “xy”.

8. CRITERIOS DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA DETERMINAR MÁXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE SILLA

   • Determinante de la matriz hessiana

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