Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales

1. Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación

   • Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
   • La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.
   • Representación Grafica
     • La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

2. Integración de funciones vectoriales

   • TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL
     • (Regla de Barrow) Supongamos que F (t) es una antiderivada de f (t) en el intervalo [a,b]
   • INTEGRAL INDEFINIDA
     • Si F (t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se define como {f (t) dt = F (t) + c

3. Límites y continuidad

   • Continuidad
     • Sea F t : A → Rn y a un punto de acumulacion de A ⊆ R. Análogamente a la definición utilizada para funciones escalares diremos que F t es continua en a sí y sólo si:
       • Existe el limt→a F t
       • limt→a F t = F a
       • Existe el vector F a
   • • Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F (t) se acerca más y más al vector l . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

4. Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades

   • TEOREMA
     • Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F (t) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores F ′(t) y F ′′(t) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la rapidez en un instante t es F ′ t , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector F ′(t) también se le llama vector tangente a la curva F (t) en t, y el vector
     • ll r(t) ll es constante si y solo si r'(t) son ortogonales para todo t.
   • PROPIEDADES
     • 1) Adición y sustracción d/dt(r(t)+-s(t)=r´-+s´(t
     • 2) Producto por un escalar d/dtCr(t)=C r´(t)
     • 3) Producto por una función escalar d/dr(f (t) r (t)=f´(t)r(t)+f(t) r'(t)
     • 4) Producto Escalar d/dr (r(t)*s(t)*s(t)+r(t)*s'(t
     • 5) Producto Vectorial d/dr(r(t)x s (t) =r'(t)x s(t) + r(t)xs'(t)

5. Longitud de arco

   • Teorema
     • Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L

6. Vector tangente, normal y binormal

7. Curvatura

   • Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.
     • La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como
       • Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de define a la torsión T

8. Aplicaciones

   • Electricidad y Magnetismo
     • Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.
   • Calculo de movimiento de un proyectil
     • Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son:

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