Probabilidad

Esperimentos aleatorios. Espacio muestral.
1. Experimento aleatorio
  1. es aquel cuyo resultado no puede predecirse antes de realizarlo
    1. Decidir a pares o nones quién saldrá a tirar la basura.
2. Espacio muestral
  1. es el conjunto de los resultados que se pueden obtener al realizar dicho experimento.
    1. Estaciones del año
      1. El espacio muestral es
        E= {primavera, otoño, verano, invierno}
3. Experimento determinista
  1. es aquel cuyo resultado se conoce antes de realizarlo. Si no se modifican las condiciones, siempre se obtiene el mismo resultado.
    1. Calcular el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.
Sucesos. Tipos de sucesos
1. ¿Qué es un suceso?
  1. es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento aleatorio. Se representa con letras mayúsculas, y sus elementos se escriben entre llaves y separados por comas.
2. Tipos
  1. Al realizar un experimento aleatorio
    1. Suceso elemental
      1. Es el suceso formado por un único elemento del experimento. Por tanto, son cada uno de los elementos del espacio muestral.
    2. Suceso compuesto
      1. Es el suceso formado por varios sucesos elementales.
    3. Suceso seguro
      1. Es el suceso que se verifica siempre al realizar el experimento. Coincide con el espacio muestral, E.
    4. Suceso imposible
      1. Es el suceso que no se verifica nunca. Se designa mediante el símbolo del conjunto vacío (∅).
  2. Dependiendo de la relación que halla entre dos o más sucesos
    1. Suceso contrario
      1. El suceso contrario a un suceso A es el constituido por los elementos del espacio muestral que no forman parte del suceso A. Se designa mediante Ac o
    2. Sucesos incompatibles
      1. Sucesos incompatibles son los que no pueden ocurrir a la vez. Es decir, no tienen ningún suceso elemental en común.
    3. Sucesos compatibles
      1. Son sucesos compatibles los que pueden ocurrir a la vez. Esto es, tienen algún suceso elemental en común.
  3. Se tienen en cuenta dos sucesos: el primero es A = «obtener bola roja en la primera extracción», y el segundo, B = «obtener bola roja en la segunda extracción»
    1. Las extracciones pueden realizarse de dos formas:
      1. Con reemplazamiento
        Se saca la primera bola, se mira el color y se vuelve a introducir en la urna para, a continuación, extraer la segunda bola.
      2. Sin reemplazamiento
        Se saca la primera bola, se mira el color y se deja a un lado para, a continuación, extraer la segunda bola.
    2. El suceso B = «obtener bola roja en la segunda extracción» no está formado por los mismos elementos cuando la primera bola se devuelve a la urna que cuando no se devuelve:
      1. Sucesos independientes
        Si se devuelve, son sucesos independientes, pues el resultado del suceso B no está condicionado por el del suceso A.
        Los sucesos A y B estarían formados por estos elementos: A = {R1, R2, R3} B = {R1, R2, R3}
      2. Sucesos dependientes
        Si no se devuelve, son sucesos dependientes, ya que el resultado del suceso B sí está condicionado por el del suceso A. El suceso A estaría formado por estos elementos: A = {R1, R2, R3}
        El suceso B, sin embargo, si suponemos que la bola extraída es R1, sería: B = {R2, R3}
Operaciones con sucesos
1. Considera los sucesos: A = «extraer bola roja» = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} B = «extraer número par» = {2 , 4 , 2 , 4}
  1. Entre estos dos sucesos cabe definir las siguientes operaciones:
    1. Unión de sucesos
      1. La unión de los sucesos A y B, A ∪ B, es el suceso formado por los elementos del suceso A junto con los elementos del suceso B:
    2. Intersección de sucesos
      1. La intersección de los sucesos A y B, A ∩ B, es el suceso formado por los elementos comunes al suceso A y al suceso B:
2. Considera ahora estos otros sucesos: A = «extraer bola roja» = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} B = «extraer bola azul» = {1 , 2 , 3 , 4}
  1. Unión de sucesos
    1. A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4}
  2. Intersección de sucesos
    1. A ∩ B = {∅}
  3. Observa que los sucesos A y B no tienen ningún elemento en común. Se trata de dos sucesos incompatibles.
3. Dos sucesos, A y B, son incompatibles, cuando no tienen ningún elemento en común y su intersección, A ∩ B, es el conjunto vacío: ∅.
Frecuencia de un suceso
1. La frecuencia absoluta, ni, de un suceso, A, es el número de veces que ocurre el suceso al realizar el experimento.
2. La frecuencia relativa, fi, de un suceso, A, es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces que se realiza el experimento:
3. Propiedades de una frecuencia relativa
  1. La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ f i (A) ≤ 1
    1. Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que:
      1. La frecuencia relativa del suceso imposible es 0: fi (∅) = 0
      2. La frecuencia relativa del suceso seguro es 1: fi (E) = 1
  2. La suma de las frecuencias relativas de todos los sucesos elementales es 1:
    1. fi (A) + fi (B) = 1 (si A y B forman el espacio muestral)
  3. La frecuencia relativa de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de los sucesos: fi (A ∪ B) = fi (A) + fi (B)
    1. Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que la suma de la frecuencia relativa de un suceso y su opuesto es 1: fi (A) + fi (A c ) = 1
    2. La frecuencia relativa de la unión de sucesos compatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de esos sucesos menos la frecuencia relativa del suceso intersección de los mismos: fi (A ∪ B) = fi (A) + fi (B) – fi (A ∩ B)
Probabilidad. Propiedades
1. La probabilidad de un suceso mide el grado de posibilidad de que tenga lugar dicho suceso. Su valor está comprendido entre 0 y 1.
2. Frecuencia relativa y probabilidad
  1. Al repetir un experimento un número de veces muy elevado, la frecuencia relativa de dicho suceso tiende a estabilizarse en cierto valor. Este valor se asigna como probabilidad de que ocurra dicho suceso.
    1. Es lo que se conoce como ley de los grandes números.
  2. Para calcular la probabilidad de que salga cara, se lanza una moneda al aire y se va aumentando el número de lanzamientos. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla de abajo. Como ves, a medida que aumenta el número de lanzamientos, la frecuencia relativa se aproxima a 0,5.
  3. La probabilidad de un suceso, A, P (A), es el valor al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un número elevado de veces.
3. Propiedades de la probabilidad
  1. La probabilidad de un suceso, A, está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1
    1. Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que:
      1. La probabilidad del suceso imposible es 0: P (∅) = 0
      2. La probabilidad del suceso seguro es 1: P (E) = 1
  2. La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1. Si A y B forman el espacio muestral, entonces:
    1. P (A) + P (B) = 1
  3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:
    1. P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
      1. Como consecuencia de esta propiedad, tenemos que la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario es 1:
        P (A) + P (Ac) = 1
        La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es igual a la suma de las probabilidades de esos sucesos menos la probabilidad del suceso intersección de los mismos:
        P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Regla de Laplace
1. si tuviéramos que realizar un experimento al menos 50 000 veces, resultaría bastante pesado.
  1. para calcular la probabilidad de un suceso es necesario buscar un método que facilite este proceso. Esta es la función que cumple la regla de Laplace.
    1. Conceptos
      1. Suceso equiprobable.
        Es cada uno de los sucesos elementales de un espacio muestral cuando la probabilidad de que ocurran es la misma para todos.
      2. Casos posibles
        Son los distintos resultados que se pueden obtener al realizar un experimento.
      3. Casos favorables
        Son los resultados que hacen que se verifique dicho suceso.
2. Laplace definió la probabilidad de un suceso, A, P (A), como el cociente entre los casos favorables al suceso A, y los casos posibles:
Experimentos compuestos. Diagramas de árbol
1. Un experimento compuesto es aquel que está formado por dos o más experimentos simples.
2. Un ejemplo de experimento compuesto sería lanzar una moneda dos veces y anotar los resultados
  1. Está formado por dos experimentos simples iguales, cada uno de los cuales incluye el lanzamiento de la moneda y la anotación de los resultados.
    1. Para obtener el espacio muestral asociado a un experimento compuesto, se suelen utilizar los diagramas de árbol.
3. Un diagrama de árbol es una estructura en la que se organiza la información. Permite realizar un recuento de todas las posibilidades de una forma ordenada, clara y sencilla.
4. Reglas
  1. Regla del producto o de la probabilidad compuesta
    1. La probabilidad de un camino en un diagrama de árbol es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman.
  2. Regla de la suma o de la probabilidad total
    1. La probabilidad de varios caminos en un diagrama de árbol es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos.

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