Unidad 1

Unidad 1

1. Función "f" de varias variables

   • Regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) en un conjunto "D", un número real único denotado por f(x,y) o z.
     • Conjunto D dominio de f: su imagen es el conjunto de valores que f adopta ( {f(x,y)l(x,y) D} ).
       • Variables independientes: x,y.
       • Variable dependiente: z.

2. Planos y rectas en R^3

   • Ecuación de recta en el espacio para 3 puntos en el esapcio, se denota como vector: (x,y,z)= (x0+at, y0 +bt, z0 +ct) para el espacio P0.
     • Coordenadas: (x0, y0, z0)
     • Vector de dirección v=t(v1, v2,v3)
     • Formado por ecuaciones paramétricas: x=x0 +at, y=y0+bt, z=z0+ct
     • Forma simétrica (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c

3. Superficies cuadráticas

   • Gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables (x,y,z). Son la contraparte en R3 de las secciones cónicas del plano
   • En una dimensión: representado por una recta numérica y puntos sobre la misma, se determina por medio de una letra que representa a un número.
   • En R2: sistema coordenado cartesiano bidimensional, es un par ordenado que representa a un punto en el plano (x,y)
     • Parábola
     • Elipse
     • Hipérbola
     • Círculo
   • En R3: conjunto de todos los puntos en un espacio tridimensional escrito como R3={(x,y,z)}lx,y,z=R}
     • Ecuación de una esfera.
     • Recta en el espacio representada por un punto y dirección.
     • Un plano determinado por un punto y un vector n (ortogonal al plano) llamado vector normal.
     • Ecuación de un plano a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 y pasa por P(x0,y0,z0) con un vector normal n=(a,b,c).
     • Cilindro: superficie con todas las líneas rectas (generatrices) que son paralelas a una recta dada y pasan por una curva plana dada.

4. Derivadas parciales

   • Se obtiene la derivada ordinarua de la función de una sola variable manteniendo constante las otras variables.

5. Regla de la cadena

   • regla utilizada para derivar una función W respecto a una variable “t” siendo que W posee las variables independientes “x, y, z” siendo: W(x,y,z) y que al mismo tiempo “x, y, z” dependen de la variable “t”, ”, siendo: x(t),y(t),z(t)

6. Diferencial total y error

   • Para una función de dos variables z=f(x,y) se definen los diferenciales dx y dy como las variables independientes que reciben cualquier valor; así dz se le conoce como el diferencial total
   • Se presentan como el error absoluto, (error representado en unidades de medida), y (dz/z)(100) como error porcentual.

7. Gradiente y derivadas direccionales

   • Si f es una función derivable de x,y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u (u = < a, b >). El vector unitario se puede escribir como u = < cosθ,sinθ > y la derivada se puede escribir como Du f(x,y)=f_x (x,y)cosθ+fx (x,y)sinθ.
     • Vector gradiente: Si f es una función de dos variables x,y entonces el gradiente de f es la función vector Vf definida por: Vf (x,y)= <fx (x,y),fy (x,y)> = (δf/δx)i+(δf/δy) j
     • Maximización de la derivada direccional: Supongamos que f es una función derivable de dos o tres variables. El valor máximo de la derivada direccional Du f(x) es |Vf(x)| y ocurre cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente Vf(x).

8. Máximos y mínimos: .

   • En semejanza con el cálculo de una variable, una función de dos variables tiene un máximo local si f(x,y)≤f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b) e igualmente en correspondencia para un mínimo local. El requisito es que f_x (a,b)=0 y f_y (a,b)=0 , es decir, el vector gradiente debe ser cero
     • Máximos locales: f(a) ≥ f(x) para todo x en el intervalo.
     • Mínimos locales: f(a) ≤ f(x) para todo x en el intervalo.

9. Multiplicadores de Lagrange

   • Puede resultar en expresiones complejas., podemos usar una característica geométrica de los problemas de extremos que están sujetos a una restricción: si trazamos una curva con la restricción sobre las curvas de nivel de la función a analizar, encontraremos que los valores extremos se encuentran en los puntos donde la curva de la restricción es tangente a alguna curva de nivel, esto significa que tienen una tangente común y que sus vectores gradiente son paralelos.