Introducción a los métodos númericos

Introducción a los métodos númericos

1. Introducción a los métodos númericos

   • Ánalisis númericos:
     • Desarrollo y estudio de procedimiento para resolver problemas con ayuda de una computadora o calculadora
   • Algoritmo
     • Es lo que se utiliza para resolver un procedimiento
     • En el ánalisis númerico nos enfocamos en determinar cual es más eficiente.
       • La eficiencia de un algoritmo se determina mediante 3 factores:
         • 1. Número de pasos
         • 2. Tiempo
         • 3. Memoria que ocupa
   • Métodos númericos
     • Utilizan poderosas técnicas para formular problemas usando operaciones aritméticas.
       • Obtiene números que se aproxima mediante soluciones análiticas.
         • Los métodos númericos son aplicaciones de algoritmos que utilizamos para formular con operaciones aritméticas problemas matemáticos menos complejos
     • También se le conoce como métodos indirectos

2. Conceptos de exactitud y precision

   • No son sinónimos.
     • Los errores matemáticos en calculo pueden caracterizarse o hacerse notorios al observar su precision y exactitud.
   • Precision:
     • Número de cifras o resultados que se repita varias veces, entre mayor sea el numero de veces que se repite mayor presición.
   • Exactitud:
     • Aproximación al valor verdadero buscado.

3. Tipos de error

   • Errores númericos
     • Errores inherentes
       • Tienen los datos de entrada de un problema calculados fisica y experimentalmente.
         • Estos errores se comenten por:
           • El instrumento de medición
             • García, S. (2019, 7 febrero). ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud? WikiVersus. https://www.wikiversus.com/blog/diferencia-entre-precision-y-exactitud/
               • Chapra, S. and Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Distrito Federal.
                 • Dra. Dora-Luz Flores (10 de enero del 2017). Métodos Numéricos. Ensenada, Baja California, México. http://ing.ens.uabc.mx/docencia/apuntes/bioingenieria/ApuntesMN2016-2.pdf
                   • Libro electrónico consultado en Marzo 2021. https://books.google.com.mx/books?id=wXP3VzSa- HIC&lpg=PA25&dq=metodo%20de%20falsa%20posicion&hl=es&pg=PA25#v=onepage&q&f=fals
                     • Apunte digital obtenido de http://gliptal.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/Newton- raphson.pdf
                       • Apunte digital obtenido de https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodos-cerrados/3-2- metodo-regla-falsa
                         • Vera, M. (2005, marzo). MÉTODOS NUMÉRICOS. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA DECANATO DE POSTGRADO. Recuperado 29 de marzo de 2022, de http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotachira/vermig/CLASE1.pdf
               • Referencias bibliograficas
                 • GAEL ARMANDO CERVANTES MAYA 1182863-PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NÚMERICOS
           • Condiciones en el entorno y en la realización de la medicion
     • Errores de truncamiento
       • Son originados por el hecho de la aproximación en un problema con solucion análitica a traves de un método númerico
         • Ejemplo:
           • La serie de Taylor, ya que no se pueden tomar todos los números de la serie por lo que se trunca despues de cierto número de términos
     • Error de redondeo
       • Suele ocurrir al no tomar todas las cifras reteniendo en cada operacion el numero de cifras
   • Magnitud del error
     • La magnitud del error por los errores anteriores.
       • Se puede cuantificar con los siguientes 3 parametros:
         • Error: Diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor
         • Error relativo: Cociente del error entre el valor verdadero (Si Vv~=0)
         • Error relativo porcentual: Es el error relativo expresado en porcentaje

4. Métodos cerrados

   • 1. Metodo de biseccion
     • Aproximación por método gráfico
     • Aproximación por tabulación
       • Se le llama método cerrado porque necesita dos valores para obtener la raiz
         • Se evalua con (f(xi)*f(xu)<0)
           • Para calcular la raíz: xr=(xi+xu)/2
             • Con respecto a nuestros datos ya obtenidos, evaluamos en 3 formas:
               • (f(xi)*f(xu)<0)
                 • xu=xr
               • (f(xi)*f(xu)>0)
                 • xi=xr
               • (f(xi)*f(xu)=0)
                 • "FIN DEL PROGRAMA"
               • Es importante conocer la tolerancia del error para tomar en cuenta desde que intervalo nuestros acercamientos en x son correctos
   • 2. Método de regla falsa
     • Identificar xl y xu
       • Calcular la aproximación xr= xu-(f(xu)(xl-xu)/f(xl)-f(xu))
         • Evaluamos con las 3 condiciones
           • El error se calcula como:

5. Métodos abiertos

   • Método Newton-Raphson
     • Procedimiento algorítmico ampliamente utilizado que permite encontrar raíces de funciones.
       • Fórmula para el error aproximado porcentual
     • Método abierto e iterativo, en general de rápida convergencia, muy útil para el cálculo de raíces cuadradas y de mayor grado
       • Fórmula para el metodo Newton-Raphson
       • Se toma un valor de x cercano a la raiz de la funcion
         • Se deriva
           • Se evalua con la fórmula de Newton-Rapson y se sacan las iteraciones.
   • Método de la secante
     • Para este método no se necesita de la derivada ya que es aproximada mediante una diferencia finita dividida hacia atrás
       • Fórmula para el metodo de la secante
         • • La aproximación de la raíz se predice extrapolando una tangente de la función hasta el eje x

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