TEOREMAS DE LIMITES Y CONTINUIDAD

TEOREMAS DE LIMITES Y CONTINUIDAD

1. LIMITES

   • Es un valor de una función evaluada en un punto muy cercano a un valor, pero sin llegar a él, . Se suele hacer cuando la función no esta definida para una parte del dominio
   • Propiedades de los limites
     • Limite de una Potencia
       • Limite de una funcion
         • Limite de una raiz
           • Limite de un logaritmo
           • Raíz cuadrada
           • Cuando "x" tiende a infinito positivo
           • Raíz cubica
   • Clases de limites
     • Limites laterales
       • El límite de f(x) por la izquierda de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su izquierda.
       • Análogamente, el límite de f(x) por la derecha de a es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto a por su derecha. Lo denotamos por
     • Limites bilaterales
       • Un límite bilateral es simplemente un límite en el que los dos límites unilaterales o laterales, o lateral por derecha y lateral por izquierda existen y son iguales.
         • limx→af(x)=L
     • Limites unilaterales
       • Hay casos en que las funciones no estan definidas(en los reales) a al izquierda o a la derecha de un numro determinado, por lo que el limite de la funcion cuando "x" tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al numero no tiene sentido
       • Por la derecha e izquierda

2. continuidad de una función

   • continuidad
     • continuidad ateral
       • La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia su continuidad a izquierda o derecha.
         • Continuidad lateral por la izquierda
           • Una función f es continua por la izquierda en a si: Condición para que una función sea continua por la izquierda. Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la izquierda a la imagen de a.
         • Continuidad lateral por la derecha
           • Una función f es continua por la derecha en a si: Condición para que una función sea continua por la derecha. Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la derecha a la imagen de a.
     • cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos"
     • continuidad en un punto
       • 1.- La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
         • 2.- Existe el límite de f en el punto x = a:
           • 3.- La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.
     • continuidad n un intervalo
       • Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
         • Intervalo abierto (a,b). Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa con dos paréntesis (a,b). La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
         • Intervalo cerrado [a,b]. Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes. La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)). f es continua por la derecha en a: Continuidad de una función en el extremo inferior a. f es continua por la izquierda en b
         • Intervalo abierto por la izquierda (a,b] (no incluye a). La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)). f es continua por la izquierda en b:
         • Intervalo abierto por la derecha [a,b) (no incluye b). La función es continua si: f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)). f es continua por la derecha en a
   • discontinuidad
     • Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si existe el límite en el punto, pero la función en ese punto, f(a), tiene un valor distinto o no existe
       • No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
       • No existe el límite de f en el punto x = a:
       • La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes.
     • Discontinuidad evitable Existe el límite en a y éste es finito La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite
     • Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos. Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales. Discontinuidad inevitable de salto finito El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita. Discontinuidad inevitable de salto infinito El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
     • Discontinuidad esencial Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.

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