Relações de equivalência

Relações de equivalência

1. é uma relação binária, onde para quaisquer objetos a, b e c, as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva são satisfeitas.

   • ∀a ∈ A, ∃ (a,a) ∈ R (reflexiva)
   • ∀a, b ∈ A ; (a,b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R (simétrica)
   • ∀a, b, c ∈ A ; (a,b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R → (a, c) ∈ R (transitiva)

2. Relações de Ordem Parcial

   • (Ampla) - Dado um conjunto A, e uma relação binária R sobre A : R ⊆ A x A
     • Dado um conjunto A e uma relação binária R sobre A:R estritamente contido em AxA, dizemos que R é uma relação de ordem parcial ampla sobre A caso satisfaça as condições de Reflexividade, Antissimetria e transitividade.
       • ∀ x ∈ A R(x, x) - (Reflexividade)
       • ∀ x, y ∈ A ( R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y ) - (Antissimetria)
       • ∀ x, y, z ∈ A ( R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z) ) - (Transitividade)
   • (Estrita) - Dado um conjunto A, e uma relação binária R sobre A : R ⊆ A x A
     • Dado um conjunto A e uma relação binária R sobre A:R estritamente contido em AxA, dizemos que R é uma relação de ordem parcial estrita sobre A caso satisfaça as condições de transitividade e (Irreflexividade ou Assimetria, pois uma implica a outra).
       • ∀ x, y, z ∈ A ( R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z) ) - (Transitividade)
         • ∀ x, y ∈ A ( R(x, y) ⇒ ¬R(x,y) ) - (Assimetria)
         • ∀ x ∈ A ¬R(x,x) - (Irreflexividade)
   • Relações de Ordem Total
     • Dada uma relação R, dizemos que x, y ∈ A, x ≠ y são incomparáveis, x || y ↔ ¬R(x, y) ∧ ¬R(x, y). Uma relação de ordem total não possui elementos comparáveis.
       • Ampla
         • ∀ x, y ∈ A ( x ≤ y ∨ y ≤ x) - (Dicotomia)
       • Estrita
         • ∀ x, y ∈ A ( x ≠ y ⇒ x < y ∨ y < x) - ou - ∀ x, y ∈ A ( x = y ∨ x < y ∨ y < x) (Tricotomia)