Potencias

Potencias

1. Definición

   • Es una operación matemática con una base y un exponente.
     • Se lee: a^b tal que "a" sería la base y "b" el exponente.
       • "b" es el número de veces que "a" se multiplica por si misma.
         • a^b = (a x a x a x a ...) ==> b veces

2. Propiedades

   • a^0 = 1
     • Cualquier número elevado a cero será 1
     • a^b x a^c = a^b+c
       • Cuando multiplicamos potencias con misma base, la base se mantiene y se suman exponentes
       • a^b/a^c = a^b-c
         • Cuando dividimos potencias con misma base, la base se mantiene y re restan los exponentes
         • (a^b)^c = a^b x c
           • Si tenemos una potencia de una potencia, se multiplican los exponentes manteniéndose la base
           • a^-1 = 1/a^1
             • Si esta elevada a un negativo, se pasa a fracción, dejándola en el denominador con el exponente positivo
             • a^b x c^b = a x c^b
               • Cuando multiplicamos distintas bases con mismos exponentes, se multiplican las bases y se mantiene el exponente
               • (a/b)^-c = (b/a)^c
                 • Cuando tenemos una fracción elevada a un exponente negativo, invertimos la fracción y el exponente queda positivo

3. Errores típicos

   • Paréntesis en potencias de números negativos
     • (-1)^2 = 1
       • si el exponente es par y se eleva a un número negativo incluyendo el signo, el resultado quedará positivo por ley de los signos. Ejemplo: ( - x - = + )
     • (-1)^3 = -1
       • Si el exponente es impar y se eleva a un número negativo incluyendo el signo, el resultado también será negativo por ley de signos. Ejemplo: ( - x - x - = - )
     • -1^2 = -1
       • En este caso al no haber paréntesis... el exponente solo se aplica al número y no al signo. De esta forma el resultado quedará siempre negativo sin importar si el exponente es par o impar. Ejemplo resuelto: -1^2 = -1 x 1 = -1
     • -1^3 = -1
       • Ejemplo para corroborar nuevamente el caso anterior pero en impar: -1^3 = -1 x 1 x 1 = -1
     • Confundir propiedades de misma base
       • Las propiedades de suma o resta de exponentes aplican solo en multiplicación y división, en suma y resta solo se puede operar con términos semejantes o resolviendo la potencia directamente.
         • Multiplicación: a^b x a^c = a^b+c (misma base y distinto exponente (multiplicación))
           • Suma: a^b + a^c = no hay propiedad.
             • División o fracción: a^b/a^c = a^b-c (misma base y distintos exponentes (división))
               • Resta: a^b - a^c = no hay propiedad.
       • No reducir las bases grandes
         • Hay bases de potencias que no son números pequeños, en este caso se tiende a hacer un desarrollo engorroso y largo debido a que se desconoce la descomposición.
           • Cuando nosotros tenemos un número grande podemos descomponerlo en valores primos más pequeños, cada uno de estos de igual manera será elevado al valor de la potencia original (antes de ser descompuesta). Ejemplo: 6^2 = (3 x 2)^2
             • Esto se aplica para que en caso de que nos resulten bases semejantes podamos aplicar propiedades de misma base

4. Ejercicios interesantes

   • Este ejercicio es llamativo puesto que tenemos varias propiedades en él
     • Partimos teniendo potencias con bases grandes por lo que reducimos a términos más pequeños que deben ser elevados al exponente de la base original
       • Elevando las bases nuevas a la potencia de la base descompuesta aplicamos la propiedad de potencia de una potencia
         • Una vez elevados los valores nos deja multiplicaciones y divisiones de misma base donde aplicamos las propiedades correspondientes
   • En este ejercicio también vemos el uso de varias propiedades como también el uso de fracciones por lo que nos es útil para practicarlas
     • Partimos resolviendo el orden de los paréntesis con la propiedad de potencia de una potencia donde el -1 multiplica al -2 y al 2
       • luego resolvemos las potencias que quedaron elevadas a exponentes negativos invirtiéndolas y pasando el exponente a positivo
         • Descomponemos el 6 en valores primos y operamos los términos semejantes en el numerador y denominador
           • la potencia de 2 del denominador en la fracción se reduce con la potencia de 2 del numerador que nos da como resultado 2^-2
             • se aplica la propiedad de exponente negativo pasando el 2^-2 a una fracción con numerador uno y el denominador la potencia pero con exponente positivio
               • el 1 se multiplica por las demás potencias dándonos como resultado (5^4 x 3^8/2^2)

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