Mapa mental de "Funciones, modelos y limites"

Mapa mental de "Funciones, modelos y limites"

1. Limites de una funcion

   • En el cálculo a menudo se desea conocer el valor del límite de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un número real específico. Este valor límite, cuando existe, recibe el nombre de limite
     • Propiedades de los límites y continuidad
       • Límites determinados e indeterminados
         • Límites especiales
           • Límites al infinito
             • Asíntota vertical
               • Continuidad

2. Representacion de una funcion

   • determina que un marchista olímpico, cuando pasa frente a él, camina a razón de 4 durante una competencia. Decide hacer un seguimiento sobre el marchista y construye la siguiente tabla, hasta un recorrido de 800 m más adelante.
     • La representación de una función puede hacerse de diversas formas:
       • Sagital
         • La representación sagital de una función hace uso de la representación gráfica de los conjuntos, en donde se limita una región a través de una curva cerrada o un rectángulo, separados simbólicamente de esta forma a un conjunto universo. Así la representación sagital se ha colocando un par de conjuntos con sus elementos, asociando cada elemento con su correspondiente a través de una flec
           • Gráfica
             • Para la representación de una función puede también hacerse uso del plano cartesiano, construyendo parejas ordenadas de la forma (x,y) en donde x es el argumento y y es su imagen respectivamente. Este tipo de representación resulta ser particularmente útil cuando las variables relacionadas son numéricas y continuas
               • Analítica
                 • Tal vez la mejor manera de representar las funciones con conjuntos numéricos sea a través de una ecuación, es decir, una igualdad que relacione a las dos variables que intervienen.
                   • Notación
                     • Sea x un argumento de la función f, y su imagen, lo anterior se denotará de la siguiente manera: y = f (x)

3. Dominio de una funcion

   • El dominio y rango de una función dada de la forma analítica, serán las extensiones de la ecuación implicada, a menos que se indique otra cosa. Aun así, el dominio de la función deberá ser al menos una porción de las extensiones de la curva.
     • Determinación del dominio de una función
       • Sea y = f (x) la representación analítica de una función. Sea x un número real. Decimos que x pertenece al dominio de definición de la función f si se verifica que f (x) es un número real.
         • Una primera impresión podría conducirnos equivocadamente a la idea de que bajo esta condicionante dada por la definición, todas las funciones pueden tener como dominio al conjunto de los reales. Esto no es así por dos razones:
           • 1. En los números reales, la división entre cero no está definida, a pesar de que cero es un número real.
             • 2. Los radicales con índice par dan lugar a números complejos si dentro del radical aparecen números negativos. Así, en este tipo de radicales habrán de revisarse aquellos números x para los cuales, dentro del radical, la expresión conduce a un número negativo.

4. Clasificacion de funciones

   • Existen tres criterios para clasificar las funciones. Pueden agruparse según la manera de expresarlas o definirlas. De acuerdo a lo anterior, las funciones son explícitas o implícitas.
     • a) Estarán representadas en forma explícita si en la regla de correspondencia la variable dependiente aparece despejada. Es decir tiene la forma:
       • y = f (x) y = 2x
         • b) Aparecerán de manera implícita si no se verifica lo anterior.
           • x2-2xy=20
             • Las funciones se clasifican también según el tipo de expresión que aparece en la regla de correspondencia. Es ésta la que le da el nombre a la función. Tendremos así:
               • algebraicas
                 • constante
                   • Función Constante Es aquella de la forma f (x) = k , donde k es una constante
                     • Identidad
                       • Como su nombre lo indica, la imagen es igual al argumento. Posee la forma: f (x) = x
                         • linial
                           • Función lineal Se representa de la forma f (x) = mx + b , en donde m y b son constantes. La función lineal tiene como representación una recta en donde los parámetros m y b se relacionan con la inclinación e intersección con el eje y, respectivamente.
                             • cuadratica
                               • Función cúbica Como su nombre lo indica, la expresión analítica es un polinomio de tercer grado. Posee la forma f x = ax3 + bx 2+ cx + d a = 0 Dependiendo de los parámetros a, b, c y d, la gráfica de una función cúbica varía.
                                 • poliniomial
                                   • donde n es un entero no negativo y los números a0, a1, . . ., an son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio . Si el primer coeficiente entonces el grado del polinomio es n.
                                     • racional
                                       • Una función racional f es una razón de dos polinomios
                                         • irracional
                                           • trascendentales
                                             • logaritmica
                                               • Son las funciones f x x a ( ) = log donde la base a > 0 y a ¹ 1. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si la base es 0 < a <1, la función decrece y si a >1 la función crece.
                                                 • trigonometrica
                                                   • exponencial
                                                     • Son las funciones de la forma x f (x) = a , donde la base a es una constante positiva. El dominio es  y la imagen es (0,¥) . Para 0 < a <1 la función es decreciente y para a >1 es creciente.

5. Concepto de funcion

   • La función retoma conocimientos básicos de matemáticas transformándolos en una estructura, la cual es base del cálculo. Este concepto se ocupa de relacionar cada uno de los elementos de un conjunto con elementos de otro
     • observaciones concepto de funcion
       • 1. Se han generado un par de conjuntos.
         • 2. Existe relación entre los elementos de conjunto con los del otro.
           • 3. A cada elemento del primer conjunto, le corresponde un único elemento del segundo conjunto.
             • 4. Ambos conjuntos son numéricos.
               • 5. Se ha encontrado una expresión analítica para expresión analítica para expresar la relación entre los conjuntos.

6. Definicion de funcion

   • Sean A y B dos conjuntos, definimos una función f de AaB como toda relación entre los elementos de A con los elementos de B, tal que a cada elemento de A le haya de corresponder un único elemento de B.
     • f : A® B Léase función de A y B.
       • Es importante que en esta definición se resalte lo siguiente:
         • 1. La existencia de dos conjuntos, y que éstos guarden un orden (primer conjunto A y segundo B). Además, que exista una asociación entre los elementos del primero con los elementos del segundo.
           • 2. También es necesario, para la existencia de una función, que para cada elemento del primer conjunto sólo se le asocie un único elemento del segundo conjunto. Cabe aclarar que lo inverso no es necesario. Es decir, dos o más elementos distintos de A pueden estar asociados al mismo elemento en B
             • 3. Todos los elementos del primer conjunto A tiene un correspondiente asociado en B y, sin embargo, lo opuesto no es necesario. Es decir, pudieran quedar elementos no relacionados en el segundo conjunto, como una especie de excedente.
               • Consideremos una función f: A->B. Entonces:
                 • 1. El dominio de la función es el primer conjunto. Para este caso, el conjunto A.
                   • 2. El contradomio de la función es el segundo conjunto. Aquí se le ha representado por B.
                     • 3. Un argumento es cualquier elemento del dominio.
                       • 4. A cada argumento se le ha asociado un único elemento del conjunto B. A este elemento se le llama imagen del argumento dado o también valor de la función
                         • 5. Al conjunto de imágenes de la función se le denomina rango. Éste puede coincidir con el contradominio, pero no necesariamente.