Actividad 1: "Conceptos Básicos de Grafos"

Actividad 1: "Conceptos Básicos de Grafos"

1. Un poco de Historia

   • En 1736, su trabajo sobre el problema de los puentes de Königsberg se considera como uno de sus primeros resultados de esta teoría. También se considera como uno de los primeros resultados topológicos (es decir, a diferencia de la geometría, es estudian las propiedades que no dependen de ninguna medida). En este ejemplo, se ilustra la profunda relación de esta teoría y la topología (UNADM, Pág. 4, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones”, 2024).
     • • Imagen tomada de UNADM, Página 4, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones”
   • En 1845, Gustav Kirchhoff público sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos (UNADM, Pág. 5, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones”, 2024).
     • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff
     • Imagen tomada de Rincón Educativo: Energía y Medio Ambiente https://rinconeducativo.org/es/efemerides/12-de-marzo-de-1824-nace-gustav-kirchhoff-fisico-que-investigo-los-circuitos-electricos/
   • En 1852, Francis Guthrie planteo el problema de los cuatro colores: “Determinar si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color”. Este problema permaneció abierto mucho tiempo, hasta que en los años sesenta fue resuelto por Kenneth, Appel y Wolfgang Haken. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de las gráficas (UNADM, Pág. 4, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones”, 2024).
     • • Imagen tomada de UNADM, Página 5, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones”
   • En 1857, Arthur Cayley fue uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras, estudió y resolvió estudio el problema de enumeración de los isómeros, que consisten en compuestos químicos que identifica composición (fórmula) pero diferente estructura molecular. Para ello, el matemático representó cada compuesto , en este caso uso hidrocarburos saturados CnH2n+2 mediante un grafo árbol en donde los vértices representan a los átomos y las aristas representan la existencias de los enlaces químicos (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley
   • El químico inglés Edward Frankland uso este término proveniente de la palabra inglesa "Graphic Notation" que significa "Notación Gráfica", posteriormente en 1884 fue adoptada por el químico orgánico escocés Alexander Crum Brown y que hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una mólecula (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Edward_Frankland
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Alexander_Crum_Brown
   • En 1936, el matemático de origen judío húngaro Dénes Kőnig escribió y publicó su primer libro sobre esta teoría. (Colaboradores de Wikipedia, 2024)
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2023 https://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9nes_K%C5%91nig
   • A finales de 1940 y principios de 1950, junto con los primeros estudios formales de cliques o camarillas en sociomatrices y de centralidad en sociogramas se introdujo esta teoría como una herramienta clave para la sociometría y el análisis de las redes sociales (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2022 https://es.wikipedia.org/wiki/Clique
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2022 https://es.wikipedia.org/wiki/Sociograma
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_redes_sociales

2. Teoría de Grafos

   • La Teoría de Grafos o Teoría de Gráficas, es una rama fundamental de las matemáticas , con aplicaciones en las ciencias de la computación y otras ciencias , que estudia las propiedades de los grafos. Esta palabra es denominada para distinguir del concepto homónimo de gráficas, aunque también se les llama así (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Formalmente, un grafo = G = (V,E) es una pareja ordenada en la que V es un conjunto no vacío de vértices y E es un conjunto de aristas en donde E consta de pares no ordenados de vértices, tales como [x,y] existe en E, y entonces se dice que x y y son adyacentes. En el grafo, esta arista no dirigida se representa mediante un segmento de recta que une a dichos vértices. Pero, si el grafo es dirigido se le nombra digrafo, se denota a D = (V,E) y se representa con una flecha que va de x a y , entonces el par (x,y) es un par ordenado y los hechos de que las aristas sean dirigidas estas se denotan como {x,y} existe en E (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Esta teoría tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas y requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como: Combinatorias, Álgebra, Probabilidad, Geometría de Polígonos, Aritmética y Topología. En la actualidad, han tenido una mayor influencia en la rama de la informática , las ciencias de la computación y las telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó todo una nueva teoría que se conoce como análisis de redes (Colaboradores de Wikipedia, 2024).

3. Aplicaciones en la Actualidad

   • En la actualidad, entre las aplicaciones de esta teoría que se han vuelto importantes, podemos encontrar el estudio de las redes sociales cuya importancia radica en el adecuado almacenamiento de datos, puesto que el costo de tiempo de búsqueda de la información de cada miembro pertenece a esta res puede tomarse demasiado alto debido al número de usuarios. Por ejemplo, el número de usuarios que hay actualmente en una importante red social tan sólo en México es de 49 millones (Cifra reportada por el periódico El Economista en 2014), si este número lo multiplicamos por 194 que es el número aproximado de países que hay en el mundo, se percibe la posibilidad de un grave problema de almacenamiento para los servidores que hay destinados para ello y para la búsqueda de almacenamiento para los servidores que hay destinados para ello y para la búsqueda de información. Este mismo fenómeno pasa en otras redes de fotografías, mensajes, etc. (UNADM, Pág. 6, Unidad 2: “Teoría de Gráficas y Relaciones

4. Tipos de Grafos

   • Gráfica (Grafo): Los grafos (del griego grafos que significa: imagen o dibujo) en matemáticas y ciencias de la computación, consisten en un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Este elemento es un objeto de estudio de la teoría de grafos. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos unidos por líneas (es decir, aristas o arcos). Desde nuestro punto de vista gráfico, las gráficas o grafos nos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras, Un ejemplo, tenemos las redes de computadoras en donde puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cuál, los vértices representan terminales y las aristas representan las conexiones (las cuales pueden ser a su vez, cables o conexiones inalámbricas (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de LuisMaraVer1228 Taller de Informática https://userscontent2.emaze.com/images/98127380-d297-4900-8a96-3c87f83f0f14/a9dc790f-67d8-438f-a9b0-5dfa0f109ff5image8.jpeg
         • Como se muestra en esta imagen, tenemos un grafo de una red de computadoras, en un cibercafé se tiene una computadora de servidor conectado a un switch (que es una pieza de construcción clave para cualquier red (Small Business IT Explained In 60 seconds Or Less: Which Switch is Wich? With captions, 2023). Mediante este aparato se conectan el servidor y 5 computadoras y mediante este switch se tiene un enrutador el cuál conecta al modem de nuestra conexión a internet y enviando la señal de internet al servidor como a las computadoras que llamaremos cliente.
   • Vértice (Nodo): Un vértice o nodo consiste en una unidad fundamental de la que están formados los grafos. Un grafo no dirigido está formado por un conjunto de vértices y un conjunto de aristas (pares no ordenados de vértices). Mientras que un grafo dirigido está compuesto de vértices y un conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). En contexto, los vértices son tratados como objetos indivisibles y sin propiedades, aunque pueden tener una estructura adicional dependiendo de su aplicación por la cual se usan los grafos, por ejemplo, se tiene una red semántica es un grafo en donde los vértices en donde representan concepto o clase de objetos (Colaboradores de Wikipedia,2020).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Red_sem%C3%A1ntica
         • Como podemos ver, una red semántica consiste en una representación del conocimiento lingüístico en la que los conceptos y sus interrelaciones se representan mediante un grafo. En caso de que no existan ciclos, dichas redes pueden ser visualizadas como árboles. Estas redes también son usadas, entre otras cosas, para representar mapas conceptuales y mapas mentales (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
   • Arista (Arco): Una arista o línea consisten en unan relación entre dos vértices de un grafo. En un grafo no dirigido, se trata de relaciones simétricas, es decir que no tienen dirección, mientras que en un grafo dirigido son relaciones direccionales, también conocidas como arcos (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2022 https://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(teor%C3%ADa_de_grafos)
         • Como podemos ver en esta imagen así se representan una arista, en un grafo no dirigido se compone por dos vértices y una arista que los uno, mientras que en una arista es un grafo dirigido y tenemos un grafo dirigido etiquetado llamado aristas con peso (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
   • Vértices Adyacentes: En Teoría de Grafos como en Geometría, consisten en vértices que están directamente conectados entre si mediante una arista. Es decir, que si se puede trazar una línea directa entre dos vértices sin pasar por ningún otro vértice, entonces estos dos vértices son adyacentes. Esta relación de adyacencia es fundamental para entender su estructura y las propiedades de los grafos, ya que determina como se relacionan los diferentes nodos dentro de una red (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
     • • Imagen tomada de Youtube (Erica Rohdenburg, 2021)
         • En este ejemplo. se puede observar dos tipos de grafos y ver si tienen en común vértices adyacentes V1 y V2 conectados en a2 son adyacentes, así como también en V2 a V5 porque al menos existe un lado que incide en ellos, mientras que en V3 y V5 no son adyacentes porque no existe un lado que incide en ellos, en un digrafo W1 y W3 así como W3 y W5 son adyacentes, mientras que en W2 y W5 no son adyacentes (Erica Rohdenburg, 2021)
   • Bucle (Loop): Un bucle o loop consiste en una arista que conecta un vértice consigo mismo, Mientras que en un grafo simple no posee bucles. Dependiendo del contexto un grafo o multigrafo puede estar definido o no para determinar en él o en la presencia de bucles (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2022 https://es.wikipedia.org/wiki/Bucle_(teor%C3%ADa_de_grafos)
         • En este ejemplo , tenemos un grafo con un bucle en el vértice 1
   • Matriz de Adyacencia: La matriz de adyacencia consiste en una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • En estos ejemplos se muestran los siguientes grafos y su respectiva matriz de adyacencia, en la primer imagen como se trata de un grafo no dirigido la matriz obtenida es simétrica (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Imágenes tomadas de Wikipedia, 2024, https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_adyacencia
   • Matriz de Incidencia: La matriz de incidencia consiste en una matriz binaria que se utiliza para representar relaciones binaria sus elementos sólo pueden ser uno o ceros (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2023
         • En este ejemplo, si sumamos las cantidades de 1's que hay en cada columna, veremos que hay dos. Pero si sumamos las cantidades de unos 1's que hay por cada fila, comprobaremos que los nodos 2,4 y 5 poseen un valor de 3. Este valor indica la cantidad de aristas que inciden sobre el nodo (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
   • Grado de un Vértice: El grado de un vértice consiste en el número de aristas incidentes al vértice. Es decir que el grado de un vértice X es detonado por Grado(X), g(x) o gr(x) (aunque también se usa δ(x) y del inglés d(x) y deg(x)). El grado de un vértice Ges denotado como Δ(G) y el grado mínimo de un grafo G es detonado como δ(G). Y finalmente un vértice de grado 0 es un vértice aislado , mientras que un grafo formado exclusivamente por vértices aislados es un grafo vacío , un grafo en donde todos los vértices tienen el mismo grado es un grafo regular y por último un grafo no dirigido de n vértices en que todos los vértices tiene grados n-1 es un grafo completo (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2023 https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(teor%C3%ADa_de_grafos)
         • En este ejemplo tenemos un grafo con vértices etiquetados según su grado. El vértice aislado se etiqueta con 0, pues no es adyacente a ningún nodo (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
   • Grafo Simple: Un grafo simple consiste en un grafo que no tiene lazos ni aristas múltiples entre sus vértices (EcuRed, s.f).
     • • En este ejemplo, tenemos que un grafo simple no presenta lazos en un vértice ni más que una arista entre cualquier par de vértices, mientras que los siguientes tres grafos no son simples, el primero tiene lazos, el segundo tiene multiaristas y el último tiene ambos (EcuRed s.f.).
   • Multígrafo: Un multígrafo o o grafo multivariado consiste en una generalización de un grafo que permite aristas múltiples, o equivalentemente , mas de un conjunto de aristas. Es decir, que de esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más de una arista. En algunos casos, algunos autores permiten que los multígrafos tengan bucles, es decir, que si una arista se conecte a un nodo consigo mismo. (colaboradores de Wikipedia, 2021).
     • En este ejemplo, tenemos un multígrafo con aristas múltiples (En color Rojo), y tres bucles (En color Azul). No todos los autores permiten multígrafos con bucles (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
     • Imagen tomada de Wikipedia, 2021 https://es.wikipedia.org/wiki/Multigrafo
   • Digrafo: Un digrafo o grafo dirigido consiste en un tipo de grafo en la cual las aristas tienen un sentido definido, a diferencia de los grafos no dirigidos en la cual las aristas son relaciones simétricas y no apuntan en ningún sentido (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_dirigido
         • A veces los digrafos son denominados digrafos simples para distinguirlos del caso general del multígrafo dirigido , en donde los arcos constituyen un multiconjunto, en lugar de un conjunto. En estos casos puede haber más de un arco que una dos vértices en la misma dirección, distinguiéndose entre por su intensidad, por su tipo o por un atributo como por ejemplo su importancia o peso. A menudo también se consideran que son digrafos simples no estan permitidos los bucles (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
   • Camino (Recorrido): Un camino o recorrido consiste en una sucesión de vértices y aristas dentro de un grafo, que empieza y termina en vértices, tal que cada vértice es incidente con las aristas que le siguen y le preceden en la secuencia. Mientras que, dos vértices están conectados o son accesibles si existe un camino que forma una trayectoria para llegar de uno a otro, en caso contrario, los vértices están desconectados o son inaccesibles. (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2022 https://es.wikipedia.org/wiki/Camino_(teor%C3%ADa_de_grafos)
         • En este ejemplo nos muestra como se conforma este tipo de grafos, parecido al diagrama de árbol pero diferente, se presentan los diferentes tipos de de trayectorias relacionadas, un recorrido consiste en un camino sin repetir una arista, un camino cerrado consiste en un camino cuyo vértice inicial y final coinciden, un camino abierto es lo contrario, es decir, con un vértice inicial y final no coinciden, un camino simple consiste en un camino sin vértices repetidos, salvo quizás el primero y el último, un circuito consiste en un recorrido que además en un recorrido cerrado, un ciclo consiste en un camino simple que además es un ciclo cerrado, un ciclo euleriano consiste en un ciclo que pasa por todas las aristas del grafo una única vez y un ciclo hamiltoniano consiste en un ciclo que pasa por todos los los vértices del grafo por una única vez (Colaboradores de Wikipedia, 2022).
   • Ciclo (Circuito): Un ciclo o circuito consiste en un camino cerrado, es decir que no se repite muchas veces ningún vértice (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2021) https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_ciclo
         • En este ejemplo tenemos un Ciclo C6, en donde un ciclo de n vértices se denota Cn. El número de vértices en un ciclo es igual al número de aristas, en este caso tenemos el valor de 6 aristas. En su versión mas común, como grafo no dirigido, es decir que cada vértice tiene grado 2, por lo que es un grafo 2-regular, mientras que en un grafo dirigido se trata de un grafo 1-regular (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
   • Camino/Ciclo Euleriano: Un camino euleriano consiste en un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano consiste en un camino cerrado cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar dichos caminos por primera vez por el matemático y físico suizo Leonhard Euler (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Ciclo_euleriano#:~:text=Un%20ciclo%20o%20circuito%20euleriano,de%20los%20puentes%20de%20K%C3%B6nigsberg.
     • En esta imagen, tenemos que C = {1, 2, 3, 4, 6, 3, 5, 4, 1} es un ciclo euleriano, luego es un grafo euleriano , dibujar un sobre abierto, como el de la imagen, sin levantar el lápiz de papel ni pasar dos veces por el mismo sitio , es posible. En cambio dibujar un sobre cerrado es imposible (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
   • Camino/Ciclo Hamiltoniano: Un camino hamiltoniano en un grafo, consiste en un camino que visita todos los vértices del grafo solo una vez. Si además el primer y último vértice coincide , entonces el camino es un ciclo hamiltoniano. El problema de encontrar un ciclo de hamiltoniano es un grafo arbitrario es NP-Completo. Y tal como aparece en la lista de los 21 problemas NP-Completos de Karp (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton
         • El nombre proviene del matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), que propuso viajar a veinte ciudades del mundo, representadas como los vértices de un dodecaedro regular, siguiendo las del dodecaedro (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
       • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/Camino_hamiltoniano
         • En esta imagen, el grafo del dodecaedro es hamiltoniano como el resto de grafos de sólidos platónicos (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
   • Árbol : Un árbol consiste en un grafo en el que cualquier par de vértices están conectados por exactamente un camino, o alternativamente es un grafo conexo acíclico. Un ejemplo tenemos un bosque, es un grafo disconexo acíclico. Alternativamente, se fefine como una unión disjunta de árboles, es decir, es un grafo disconexo cuyas componentes son árboles (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
     • • Imagen tomada de Wikipedia, 2021 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_(teor%C3%ADa_de_grafos)
         • En esta imagen, tenemos un árbol etiquetado con 6 vértices y 5 aristas. El único camino que conecta los vértices 2 y 6 es 2-4-5-6 (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
   • Árbol de Expansión: Un árbol de expansión o a veces llamado árbol generador, árbol abarcador o árbol recubridor T de un grafo conexo , mientras un árbol de expansión no dirigido G es un árbol compuesto por todos los vértices y algunas de las aristas de G. Informalmente un árbol de expansión G es una selección de aristas de G que forman un árbol que cubre todos los vértices. Esto es que cada vértice esta en el árbol, pero no hay ciclos. Por otro lado, todos los puentes de G deben estar contenidos en T (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Imagen tomada de Wikipedia, 2024 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_de_expansi%C3%B3n#:~:text=Un%20%C3%A1rbol%20de%20expansi%C3%B3n%20o,que%20conecta%20todos%20los%20v%C3%A9rtices.
       • En este ejemplo, tenemos un árbol de expansión 4 x 4 (aristas azules gruesas) de un grafo de rejilla (Colaboradores de Wikipedia, 2024
   • Relaciones Binaria: Las relaciones binarias consisten en poder representar en gráficos dirigidos mediante el uso de nodos para representar elementos y bordes dirigidos para representar pares ordenados. Esta representación permite el análisis de varias propiedades y la aplicación de algoritmos gráficos en el estudio de la complejidad computacional (Instituto Europeo de Certificación de Tecnologías de la Información (EITCI), Academia Ética, 2013).
     • • Imagen tomada de Study Pool, s.f. https://www.studypool.com/documents/5530355/relaciones-binarias
     • • Imagen tomada de Study Pool, s.f. https://www.studypool.com/documents/5530355/relaciones-binarias
     • En este ejemplo nos muestra como se realiza una relación binaria mediante la representación de un grafo en donde se definen relaciones de n-arias como subconjuntos del producto cartesiano A x . . . x A = An ((Studypool Homework Help - Relaciones Binarias, s.f.)
   • Digráfica de una Relación: Una digráfica de una relación es un par ordenado D = (A,R) en donde A es un conjunto finito de y R es una relación binario definido sobre A. Al conjunto A se llamara conjunto de nodos o vértices de D. Mientras que a los elementos de R se llamara arcos o aristas de la digráfica de D (González Gutiérrez, 2004).
     • • En este ejemplo se muestra una representación gráfica del Digrafo D = (A,R,), siendo A el conjunto {a, b, c, d,} y R = {(a,a), (a,c), , (b,c)} (González Gutiérrez, 2004).
         • Las aristas son (a, a), (a, c) y (b, c). Mientras que d es un vértice aislado.
           • Los grados de entrada son: gre (a) = 1, gre (b) = 0, gre (c) = 2, gre (d) = 0 y los grados de salida son: grs (a) = 2, grs (b) = 1, grs (c) = 0, grs (d) = 0
   • Matriz de una Relación: Una matriz de una relación consiste en un gráfico de filas y columnas que permiten priorizar alternativas de solución, en función de ponderación de criterios que afectan a dichas alternativas (EcuRed, s.f.).
     • • En este ejemplo, podemos observar una matriz de relación ponderada de un área y los siguientes ambientes que están relacionados, aquí muestra una sumatoria y un rango en diferentes áreas y las áreas marcadas con color son la ponderación de dichas áreas.
   • Propiedades de una Relación: En matemáticas una relación, consiste en un conjunto es una clase de vínculos que pueden darse o pueden no darse entre dos miembros de un conjunto determinado, en algunas propiedades importantes que pueden tener una relación R sobre un conjunto X son: (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • Relación Reflexiva: Una relación reflexiva consiste en una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento A está relacionado consigo mismo. (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
       • • En este ejemplo, es como se representa una relación reflexiva y una relación antirreflexiva en donde: Sea R una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación para cada forma de describir una relación binaria (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
     • Relación Simétrica: Una relación simétrica consiste en una relación binaria R sobre un conjunto A en el que cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con R, es decir, es lo mismo tener (a, b) como tener a (b, a) (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
       • • En este ejemplo, es como se representa una relación simétrica y una relación asimétrica en donde: Sea R una relación simétrica o asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria (Colaboradores de Wikipedia, 2023).
     • Relación Transitiva: Una relación transitiva consiste en una relación binaria R sobre un conjunto A cuando se cumple siempre un elemento se relaciona con otro y este último como un tercero, entonces, el primero se relaciona como un tercero (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
       • • Imagen tomada de Wikipedia, 2021 https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_transitiva
           • En este ejemplo, si a es mayor que b, y b es mayor que c,, a es mayor que c (Colaboradores de Wikipedia, 2021).
     • Relación Antisimétrica: Una relación antisimétrica consiste en una relación binaria R sobre un conjunto A, cuando se da que si dos elementos de A se relacionan entre si mediante R, entonces estos elementos son iguales (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
       • • En este ejemplo, es como se representa una relación antisimétrica en donde: Sea R una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación para cada forma de describir una relación binaria (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
   • Relación de Equivalencia: En Teoría de Conjuntos y Álgebra, una relación de equivalencia consiste en un conjunto que establece una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Es decir, que esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos juntando todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que lo representará y que define la noción de conjunto cociente (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
     • • Imagénes tomada de la Universidad de Guadalajara, s.f. http://mate.cucei.udg.mx/matdis/1rel/1rel5.htm
   • Cerradura Transitiva: La cerradura transitiva o también conocida como Clausura Transitiva o Cierre Transitivo consiste en una relación binaria más pequeña que siendo transitiva contiene al conjunto de pares de la relación binaria original. La cerradura transitiva de una relación R se denotada CT(R). En otras palabras CT(R) es la relación binaria que verifica (Colaboradores de Wikipedia, 2024):
     • 1. R es conjunto de CT (R) 2. CT (R) es transitiva 3. Si R! es una relación transitiva tal que R es un conjunto de R!, entonces CT (R) es un conjunto de R!. Nótese que si R es transitiva, entonces CT (R) = R. Dada cualquier relación siempre exista una cerradura transitiva (Colaboradores de Wikipedia, 2024).
       • • Imagen tomada de Slideshare https://es.slideshare.net/slideshow/cerradura/3321602#5
           • En este ejemplo nos muestra como se realiza una cerradura transitiva (Cerradura, 2010).

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