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MONÔMIOS E POLINÔMIOS
- Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 +
an-2.xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0.
- GRAU DE UM POLINÔMIO:
- Valor numérico:
- Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente
máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.
- O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e
efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
- Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14
- Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0;
logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
- Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0;
logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
- Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14
- Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente
máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.
- Valor numérico:
- GRAU DE UM POLINÔMIO:
- Polinômios iguais:
- Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x))
quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum
atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou
idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
- Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
- Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do
segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1
(a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
- Agora igualamos os coeficientes correspondentes: Substituindo a 1ª
equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação,
temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs: um polinômio é dito
identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
- DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
- Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois
polinômios Q(x) e R(x)
- 1ª) Q(x).D(x) + R(x) =
P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou
R(x)=0
- Nessa divisão:
P(x) é o
dividendo. D(x)
é o divisor. Q(x)
é o quociente.
R(x) é o resto
da divisão.
- Obs: Quando
temos R(x)=0
dizemos que a
divisão é exata,
ou seja, P(x) é
divisível por D(x)
ou D(x) é divisor
de P(x).
- Obs: Quando
temos R(x)=0
dizemos que a
divisão é exata,
ou seja, P(x) é
divisível por D(x)
ou D(x) é divisor
de P(x).
- Nessa divisão:
P(x) é o
dividendo. D(x)
é o divisor. Q(x)
é o quociente.
R(x) é o resto
da divisão.
- 1ª) Q(x).D(x) + R(x) =
P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou
R(x)=0
- Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois
polinômios Q(x) e R(x)
- DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
- Agora igualamos os coeficientes correspondentes: Substituindo a 1ª
equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação,
temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs: um polinômio é dito
identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
- Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do
segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1
(a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
- Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
- Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x))
quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum
atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou
idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
- MONÔMIOS:
- Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e
incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão
não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando
possui alguma divisão por incógnita.
- PARTES DE UM MONÔMIO:
- Para um monômio com coeficientes não nulos, temos que seu grau se dará através da soma entre os expoentes da
parte literal.
- 1/2x2y3z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9); bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3). 25 →
esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal); Entre os monômios 2x2, 1/3x3 e 0,5x5 o de maior grau é
0,5x5, pois 5 > 2 > 1/3.
- Pode-se também atribuir o grau de um monômio em relação a uma de suas incógnitas. Para isso é
necessário fazer menção a incógnita considerada.
- ab² → esse é um monômio do 2º grau em relação a variável b;
- wz³ → esse é um monômio do 1º grau em relação a variável w;
- 4 → esse é um monômio de grau zero pela ausência de variável (eis).
- GRAU DE UM MONÔMIO:
- Para um monômio com coeficientes
não nulos, temos que seu grau se
dará através da soma entre os
expoentes da parte literal.
- 1/2x²y³z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9)
- bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3)
- 25 → esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal)
- Entre os monômios 2x², 1/3x³ e 0,5x^5 o de maior grau é 0,5x^5, pois 5 > 2 > 1/3
- Entre os monômios 2x², 1/3x³ e 0,5x^5 o de maior grau é 0,5x^5, pois 5 > 2 > 1/3
- 25 → esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal)
- Semelhança entre monômios
- Dois ou mais monômios são semelhantes quando suas partes literais são iguais.
- 3xy e 2/5xy são iguais, pois possuem a mesma parte literal xy;
- 0,5a³b² e 10a³b² são iguais, pois possuem a mesma parte literal a³b²
- - 4vwz, 2,3vwz e 1/3vwz são iguais, pois possuem a mesma parte literal vwz
- - 4vwz, 2,3vwz e 1/3vwz são iguais, pois possuem a mesma parte literal vwz
- 0,5a³b² e 10a³b² são iguais, pois possuem a mesma parte literal a³b²
- 3xy e 2/5xy são iguais, pois possuem a mesma parte literal xy;
- MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS:
- Multiplicação de monômios Antes de
prosseguirmos nesse tópico, devemos
relembrar uma propriedade muito
importante da potenciação.
- 6x²y . 2x4 . 3y → 6.2.3 = 36 e x².x^4.y.y = x^6y², ou seja, 36x^6y²
- 4abc^4. 4ab²c → 4.4 = 16 e a.a.b.b2².c^4.c = a²b³c^5, ou seja, 16a²b³c^5
- 1/2wz . 2/3z → 1/2.2/3 = 2/6 ou 1/3 e w.z.z = wz², ou seja, 1/3wz²
- DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
- Na divisão de monômios, dividimos entre si os coeficientes, bem como, a parte literal
- 12x^4y : 3x²y → 12:3 = 4, x^4:x²= x² e y:y = 1, ou seja, 4x²
- 12x^4y : 3x²y → 12:3 = 4, x^4:x²= x² e y:y = 1, ou seja, 4x²
- Na divisão de monômios, dividimos entre si os coeficientes, bem como, a parte literal
- DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
- 1/2wz . 2/3z → 1/2.2/3 = 2/6 ou 1/3 e w.z.z = wz², ou seja, 1/3wz²
- 4abc^4. 4ab²c → 4.4 = 16 e a.a.b.b2².c^4.c = a²b³c^5, ou seja, 16a²b³c^5
- 6x²y . 2x4 . 3y → 6.2.3 = 36 e x².x^4.y.y = x^6y², ou seja, 36x^6y²
- Multiplicação de monômios Antes de
prosseguirmos nesse tópico, devemos
relembrar uma propriedade muito
importante da potenciação.
- Dois ou mais monômios são semelhantes quando suas partes literais são iguais.
- bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3)
- 1/2x²y³z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9)
- Para um monômio com coeficientes
não nulos, temos que seu grau se
dará através da soma entre os
expoentes da parte literal.
- GRAU DE UM MONÔMIO:
- 4 → esse é um monômio de grau zero pela ausência de variável (eis).
- wz³ → esse é um monômio do 1º grau em relação a variável w;
- ab² → esse é um monômio do 2º grau em relação a variável b;
- Pode-se também atribuir o grau de um monômio em relação a uma de suas incógnitas. Para isso é
necessário fazer menção a incógnita considerada.
- 1/2x2y3z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9); bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3). 25 →
esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal); Entre os monômios 2x2, 1/3x3 e 0,5x5 o de maior grau é
0,5x5, pois 5 > 2 > 1/3.
- Para um monômio com coeficientes não nulos, temos que seu grau se dará através da soma entre os expoentes da
parte literal.
- PARTES DE UM MONÔMIO:
- Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e
incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão
não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando
possui alguma divisão por incógnita.
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