Integralrechnung

vincent.wegas
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Mathe Mind Map on Integralrechnung, created by vincent.wegas on 03/16/2015.

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Integralrechnung
1 Unbestimmtes Integral

Annotations:

  • Bei diesem Verfahren wird die Stammfunktion zu einer Funktion gesucht! Umkehroperation zum differenzieren! Keine eindeutige Lösung - additive Konstante!
1.1 Stammfunktion aller Funktionen ∫f(x)ⅆx=F(x)+C
1.1.1 Additive Integrationskonstante " C "
1.1.1.1 Definition von "C" => Bestimmte Stammfunktion
2 Bestimmtes Integral

Annotations:

  • Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Folge von Summen. Die Anzahl der Summanden strebt gegen unendlich, die einzelnen Summanden sind Produkte, deren Wert gegen 0 geht!
2.1 Fläche unter einer Funktion, begrenzt durch Intervall
2.1.1 Zerlegung des Intervalls in Teilintervalle
2.1.1.1 Betrag einer Fläche

Annotations:

  • Es gibt keine negative Fläche
2.1.2 Voraussetzung Beschränkt / Stetig
2.1.2.1 Integrationsverfahren
2.1.2.1.1 Substitutionsmethode

Annotations:

  • Kettenregel (aus der DR)
2.1.2.1.1.1 Lineare Substitution
2.1.2.1.2 Partielle Integration

Annotations:

  • Produktregel (aus der DR)
2.1.2.1.2.1 Integraltafel
2.1.2.1.3 Partialbruchzerlegung

Annotations:

  • Ziel ist es aus einem "großen/komplizierten Bruch" eine Summe aus mehreren einfachen Brüchen zu bilden. Die anschließend auch einfach zu integrieren sind! Sollte immer möglich sein!
2.1.2.1.3.1 echt gebrochene Integranden
2.1.2.1.3.1.1 Linearfaktorzerlegung des Nennerpolynoms

Annotations:

  • Max Koeffizient im Bruch = 1
2.1.2.1.3.1.1.1 Sonst Polynomdivision???
2.1.2.1.3.1.1.2 Nst des Nennerpolynoms bestimmen

Annotations:

  • ABC-Formel; Hornerschema; etc
2.1.2.1.3.1.1.2.1 Qualität der Nst
2.1.2.1.3.1.1.2.1.1 Einfach
2.1.2.1.3.1.1.2.1.1.1 Komplex
2.1.2.1.3.1.1.2.1.1.2 Reell
2.1.2.1.3.1.1.2.1.1.2.1 Koeffizientenvergleich
2.1.2.1.3.1.1.2.1.1.2.2 Einsetzverfahren
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2 Mehrfach
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2.1 Komplex
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2.2 Reell
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2.2.1 Partialbruchzerlegung
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2.2.1.1 Koeffizientenvergleich

Annotations:

  • Zeitaufwendig
2.1.2.1.3.1.1.2.1.2.2.1.2 Einsetzverfahren
2.1.2.1.3.1.1.2.1.3 Keine
2.1.2.1.3.2 Unecht gebrochene Integranden
2.1.2.1.3.2.1 Polynomdivision
2.1.2.2 Feststellen der Nullstellen / Polstellen / Lückeh
2.1.3 Mittelwertsatz