MATRICES

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Unidad Académica Cuautitlan Izcalli

Algebra Lineal

Actividad 4 Matrices

Alumno: Rafael Ignacio Martínez Navarrete.

Profesor: Edel Cruz García

Toluca, México a 07 de Marzo del 2016.

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Matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensiónmxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij.

Matrices iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de Matrices

Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

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Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −At.

Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · At = I.

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Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices

1. Interna La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

2. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

3. Elemento neutro A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

4. Elemento opuesto A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

5. Conmutativa A + B = B + A

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Producto de un número real por una matriz Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.k · A = (k · aij)

Propiedades

1 a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn , a, b

2 a · (A + B) = a · A + a · BA, B Mmxn , a

3 (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b

4 1 · A = A A Mmxn

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Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.Am x n x Bn x p = Cm x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

1 Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

2 Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

3 Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

4 No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

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Matriz inversa Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.A · A−1 = A−1 · A = I

Propiedades 1 (A · B)−1 = B−1 · A−1

2 (A−1)−1 = A

3 (k · A)−1 = k−1 · A−1

4 (At)−1 = (A−1)t

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Rango de una matriz Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Podemos descartar una línea si:

1 Todos sus coeficientes son ceros.

2 Hay dos líneas iguales.

3 Es proporcional a otra.

4 Una línea es combinación lineal de otras.

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Referencias a otras fuentes de información

http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=l7FGkomNpjg (Einbetten)

https://www.youtube.com/watch?v=jJbhsmJUml0 (Einbetten)

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Conclusión

saque un análisis del campo de aplicación de las matrices en lo que puede ser mi campo logístico:

-Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.

- La teoría de matrices fue introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sociología.

-Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, identidad, triangular, etc.

Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.