Vectores

Vectores

1. Definición Algebráica: Es la forma en que se representa el vector. Para ello tenemos que se representan de dos formas

   • Horizontal (Renglón)
   • Vertical (Columna)

2. La norma: se define como la distancia entre los puntos A y B que definen el vector, coincidiendo la norma y el módulo AB

   • La longitud o magnitud: en cualquier representación del vector.
   • La dirección: El ángulo medido en radianes que forma con el lado + de x

3. Ángulos Directores:Se forman por el lado positivo de X y deben ser tomados entre 0° y 180° (π)

4. Vector Unitario: es el proceso por el que normalizamos la magnitud de un vector a 1

   • Se toma un vector diferente a 0 y su magnitud tambien distinta
     • Se multiplica por el recíproco de la magnitud, y tenemos:

5. Propiedades:

   • Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. A+B=B+A
   • Asociativa: la forma de agruparlos no altera el resultado. (A+B)+C = A+(B+C)
   • Distributiva: Relaciona la multiplicación y la suma. k(A+B) = kA+kB
   • Inverso Aditivo: la suma de un vector y su opuesto es cero. A+(-A)=0

6. Operaciones Básicas:

   • Suma: Se suma la primera componente de U con la primera de V; y la segunda de U con la segunda de V
   • Resta de vectores: Es la suma de U con -V, o sea el opuesto de V
   • Producto por escalar: esta multiplicación es KU o K.U. Se deben satisfacer los siguientes aspectos:
     • El producto punto es cuando multiplicamos 2 V, el resultado es un escalar

7. Vector Base: dos vectores U y V con distinta dirección. Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.

8. Matrices

   • Resultado de m X n, donde m= renglones; y n= columnas
   • Tipos de matrices:
     • Renglón: Contienen una sola fila de componentes
     • Columna: Compuesta por una sola columna de componentes
     • Rectangular: Son diferentes cantidades de columnas y filas, siendo m X n.
     • Traspuesta: es la que se obtiene de A al cambiar los renglones por columnas.
     • Nula: donde todos los elementos son cero
     • Cuadrada: contiene el mismo número de filas y de columnas
       • Triangular superior: los elementos en la diagonal bajo la principal son cero
       • Triangular inferior: los elementos por encima de la diagonal principal son cero
       • Diagonal: los que no esten en la principal son nulos.
       • Escalar: es una diagonal donde todos sus elementos principales son iguales
       • Identidad o Unidad: es diagonal donde los elementos de la principal son 1.
       • Regular: Es una cuadrada que tiene inversa
       • Singular: No tiene matriz inversa
       • Idempotente: si A2 es= A. O sea que las potencias siempre den la misma matriz
       • Involutiva: si A2=1. Solo así es de este criterio
       • Simétrica: es cuadrada que verifica: A=At
       • Antisimétrica: o hemisimétrica es cuadrada que verifica A=-At
       • Ortogonal: Si verifica que A * At = 1
   • Suma de matrices: Se obtiene sumando los elementos de las dos matrices en las mismas posiciones
     • Propiedades: la suma de 2 matrices da otra matriz de la denotación m X n.
       • Asociativa: A+(B+C)= (A+B)+C
       • Neutro: A+0= A. Donde 0 es la nula de la misma dimensión de A
       • Opuesta: todos los elementos están cambiados de signo
       • Conmutativa: A+B = B+A
   • Producto: Son multiplicables si las columnas de A coincide con la cantidad en renglon de B
     • se multiplica cada elemento de la fila A por los cada elemento de columna B y se suman:
       • Propiedadaes:
         • Asociativa: A*(B*C) = (A*B)*C
         • Neutro: A*1 = A
         • No es conmutativa: A*B ≠ B*A
         • Distributiva respecto a la suma: A * (B+C) = A * B+A*C
   • Operaciones Elementales:
     • Cambiar entre sí dos columnas
     • Multiplicar una fila (columna) por un número real distinto a cero
     • Sumar a una fila (columna) otra, multiplicada por uno real
     • Matriz Inversa:
       • Por medio de estas operaciones hasta que el resultado sea A con exponente -1
         • Se obtienen 3 equivalencias: se trianguliza superior e inferiormente y se obtiene 1 en la diagonal principal

9. Determinantes

   • El determinante le asigna a una matriz cuadrada un único número real
   • Propiedades:
     • El det. de una matriz A y su traspuesta At son iguales.
     • Dos filas y Dos columnas iguales
       • Todos los elementos de una fila y columna son nulos
       • Los de un reglón son combinación lineal de los otros
   • Determinante NxN
     • Representa todos los productos posibles en los que hay un elemento de cada fila y columna. Son matrices superiores a 3x3

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