Secciones Conicas

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SECCIONES CÓNICAS:

Llamamos sección cónica , a la curva de intersección de un cono cono un plano que no pasa por su vértice, en función de la relación existente entre el angulo de conicidad ( llamado a), y la inclinación del plano con respecto al eje del cono ( llamado b)

¿ Como se obtienen ?

. Las secciones se obtienen cortando con un cono circular recto con un plano. en esta acción, identificamos dos protagonistas : el plano, definido como el lugar geométrico que se determina con 3 puntos no alineados. Y también se encuentra el cono, que es una pirámide regular recta solida que tiene una base circular

Según el tipo de cortes que se ejecuten en el cono , obtenemos las siguientes secciones cónicas:

*Parábola: Resulta del corte de un cono recto con un plano de angulo cuya inclinación respecto al eje de revolución del cono se igual de presentado por su generatriz.

características:

- cuando todos sus valores son igual a 1 , la parábola se divide un lado en el cuadrante 1 y 3.

- Cuando la a es = 0 ; la parábola corta hacia arriba y no corta el eje x.

- cuando la a es positiva , la parábola queda entre el cuadrante 1 y 3 y corta con el eje x.

-Cuando la b= 1 ; la parábola corta el eje x en el punto (-1,0), y al eje (0,1).

*Elipse : es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano , tales que la suma de las distancias a otros 2 puntos fijos llamados focos.

Características:

- sus excentricidad: o sea la razón entre su semidistancia focal , denominada por la letra c , y su semieje mayor.

- sus focos , en este caso serian dos puntos , que respecto a ellos , la suma de las distancias a cualquier oto puno es constante.

- sus elementos, lo que es el semieje mayor y el semieje menor ( marcados con las letras a y b).

- La directriz , aquella linea , superficie o volumen , que determina las condiciones para la generación de otra linea.

- El centro de una elipse, es un punto del eje mayor, y esta situado a la mitad de los vértices.

-El lado recto de una elipse, es un segmento de recta que pasa por los focos y tiene como extremos los lados de la elipse.

*HIPERBOLA: Es el lugar geometrico de los puntos de un plano tales que un valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos, es igual a la distancia entre sus vertices , la cual es una distancia positiva.

Caracteristicas:

La hiperbola es una curva abierta , plana con dos ramas.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio. El eje mayor AB , se llama eje real y es representada por 2A ; el eje menor se representa como 2b y es imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva

La circunferencia principal de la hiperbola es la que triene por centro O y radio 2a. se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes

se componen por asintotas, qeu son las rectas r y r' que pasan por el cemtro de la hiperbola y verifican que se acercan ramas de la misma , en tanto as nos alejemos del centro.

sus vertices , que son lso puntos donde cortan sus ejes

La tangente a una hiperbola en cualquier otro punto es bisectriz del angulo formado por los radios vectores de ese punto

*Circunferencia: Es el lugar de un plano geometrico de los puntos en un plano que equdistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. La circunferencia es un contorno continuamente curvado cuyos todos puntos se encuentran a la misma distancia del punto central

Caracteristicas:

Dos terminos cuadraticos

Mismos coeficientes

posee centro , radio y diametro.

posse un arco , que es cada una de las partes en que una cuerda divide una circunferencia.

tiene recta secante y recta tangente. La primera corta la circunferencia en 2 puntos , mientras que la segundo lo hace solo en un punto

EJEMPLOS:

*Encuentra la ecuacion general de la circunferencia , dado su centro(2,3) y su radio=5.

*Encuentre la ecuacion general de la circunferenca , dado su centro(-1/2,5/4) y radio = 1.73

* Obtener la ecuacion de una parabola , con vertice v (-1,4) , y foco (-1,1)

* obtener los lelementos de una parabola cuya ecuacion es = (y-1)^ 2= 20(x-2)

desarrollo

* centro (2,3) y radio =5

escribimos la formula general y aplicamos su centro dentro de la ecuacion:

(x-2)^ + (y+3)^ 2= 5^ 2

x^ 2 - 4X - 4 +Y^ 2 + 6Y+9= 25

x^+ Y^ -4X+6Y-12=0

* centro ( -1/2, 5/4) radio= 1.73

escribimos la formula general y aplicamos su centro dentro de la ecuacion:

formula general : (x-h)^ 2 + (y-k)^ 2 = r^ 2

(x+0.5)^ 2 + (y-1.25)^ 2 = 1.73^ 2

x^ 2 + x + 0.25 + y^ 2 - 2.5Y + 1.56 = 3

X^ 2 + y^ 2 +x - 2.5y + 1.19 = 0

* primero ubicamos los datos :

v(-1,4) foco(-1,1) p=-3 como p= -3 , eso significa que la parabola es negativa y por lo tanto abre hacia abajo.

ahira escribimos la formula de la parabola y cambiamos los datos :

( x-h)^ 2 = 4p (y-k)

(x+1)^ 2 = -12 (y-4) Ahora se pasa a resolver las respectivas multiplicaciones

x^ 2 +2x+1 = -12y+ 48

x^ 2 +2X+ 12Y + 47 = 0