elipse

LA ELIPSE

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• la elipse es una curva plana, simple y cerrada. Definición. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de lLa as distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

caracterÌsticas de la elipse

• Ejes de una elipse
• El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
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partes de una elipse

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• Elementos de la elipse:
• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

ECUACIÓN DE ELIPSE CON CENTRO H K

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• 1. ELIPSE INTEGRANTES ADRIANA ORTIZ LAURA PEREZ IDALIDES QUINTERO GRADO: 11-1 LIC. MILADIS BECERRA
• 2. QUE ES UNA ELIPSE Se define como un lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos es constante. P F 1 F2
• 3. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Además de los focos, en la elipse se distinguen los siguientes elementos: eje principal o eje focal , vértices, eje mayor, centro, eje normal o eje secundario, eje menor y lado recto.
• 4. 1.Eje principal o eje focal: Es la recta que contiene los dos focos . 2.Los vértices: V1 y V2 son los puntos de intersección de la elipse con el eje focal. 3.El eje mayor : V1V2 es el segmento que une los dos vértices. 4.El centro C: Es el punto medio del eje mayor . 5.El eje normal o secundario: Es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse. 6.El eje menor: B1B2 es el segmento que une los puntos de intersección de la elipse con el eje normal .
• 5. 7. El lado recto: Es el segmento perpendicular al eje focal que pasa por el foco y cuyos extremos pertenecen a la elipse.Ejefocal Eje mayor Eje menor Lado recto L R 1 2 1 2 V1 V2
• 6. ECUACION CANONICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN(h, k) EJE FOCAL PARARELO AL EJE X La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x , para determinar la hace un traslación de ejes y se obtiene.
• 7. La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k) y el eje focal paralelo al eje x es: Donde a> b>o y
• 8. En el siguiente cuadro se resumen los elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje x .
• 9. En el siguiente cuadro se resumen los elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje y.
• 10. HALLAR LOS ELEMENTOS DE LA ELPISE CON CENTROEN H,K VERTICES, FOCOS, INTERCEPTOS , CENTRO EN EL EJE X CENTRO C= (h, k) C= (6, 4) a²= 36 a= a= ± 6 b²= 16 b= b= ± 4VERTICE V1= (h-a,k) V1= ( 6-6,4) V1= (0,4) V2= (h+a,k) V2= (6+6,4) V2= (12,4)
• 11. Focos F1(h-c,k) f1(1,53,4) F2(h+c,k) f2(10,47,4) Interceptos B1(h,k-b) B1(6,0) B2(h,k+b) B2(6,3)
• 12. EJERCICIOS 1. Determinar la ecuación, los elementos y la excentricidad de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje x, con centro en (-3, 4), la distancia entre el centro y cada foco es igual a 3 y el eje mayor mide 8 unidades . Represente gráficamente.
• 13. ECUACION CANONICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (h, k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y. La ecuación canónica de elipse con centro en (h . k) y eje focal paralelo al eje y es: Donde a>b> o y
• 14. SOLUCION: C (3,1) ) V1(h,k-a) α= b= α= b= b= 3 b=2V1(3,1-3) V1(3,-2) Hallar los vértices, los focos, el centro, los interceptos de la ecuación canoníca al eje y C(h,K)
• 15. V2 (h,k+a) V2(3,1+3) V2(3,4) c= 2,23 B1(h-b,k) B1(3-2,1) B1(1,1) B2(h+b,k) B2(3+2,1) B2(5,1) F1(h,k-c) F1(3,1-2,23) F1(3,-1.23) F2(h,k+c) F2(3,1+2,23) F2(3,3,23) FocosInterceptos
• 16. EJERCICIOS 1.Determinar os elementos , la ecuación y la excentricidad de la elipse que se muestra a continuación. 2.Determinar las coordenadas del centro, los focos y los vértices de la siguiente elipse.

ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO 0.0

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• Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:
• Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

FORMULAS DE LA ELIPSE

COMO PASAR DE CANONICA A GENERAL

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• Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes coordenados. El eje mayor lo haremos coincidir con el eje x y el eje menor coincidir con el eje y.
• Por la definición de elipse sabemos que para cualquier punto P de la elipse se cumple es siempre constante.
• En particular para el vértice , por semejanza de triángulos tenemos que (a es la distancia del vértice menor al foco).
• Por tanto y en general:
• para cualquier punto P de la elipse.

COMO PASAR DE GENERAL A CANONICA

EJEMPLOS

• Hallar los focos y la ecuación canónica de una elipse con vértices
• Solución:
• Vemos que el semieje menor está situado sobre el eje x y en consecuencia la ecuación será de la forma
• Además, los focos están sobre el eje y están dados por
• Luego: la ecuación pedida es
• y los focos son
• Encontrar la ecuación canónica de una elipse con focos si los vértices determinados por el eje menor son
• Solución:
• Sabemos que si los focos están sirtuados sobre el eje x, la ecuación canónica es de la forma . tenemos que ubicar para completar la ecuación:
• por tanto es decir, los vértices son
• Luego: la ecuación canónica es

CONCLUSION

• La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.
• a es la abscisa en el origen de la recta.
• b es la ordenada en el origen de la recta.
• Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.
• Si y = 0 resulta x = a.
• Si x = 0 resulta y = b.
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