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Elementos de cálculo diferencial

• RAZONES DE CAMBIO
• ¿Cómo se mide la variación? Podemos distinguir algunas maneras de medir la variación o cambio, por ejemplo el cambio absoluto o incremento y el cambio relativo.
• EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Recuerde que una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio de la función) un único elemento en un conjunto B (llamado codominio de la función). Si la función se denota por f entonces se escribe f : A −→ B. Si x es un elemento de A, su elemento asociado y de B se llama la imagen de x.
• Variación de una función en un punto Sea f(x) = x 2 − 1 x − 1 , ¿qué sucede con los valores de f(x) si x.
• CAÍDA LIBRE Y CÁLCULO DE RECTAS TANGENTES
• d = 4, 9t 2 (si el cuerpo se deja caer).
• Aproximación de la velocidad instantánea
• no se puede calcular como una velocidad promedio, pero vamos a ver cómo a partir de ella encontramos la velocidad instantánea.
• Podemos suponer que la velocidad a los 5 segundos no andar´a muy lejos de la velocidad promedio un poco antes de los 5 segundos; por ejemplo, en el ´ultimo segundo transcurrido antes de los 5 segundos. En el segundo 4, la piedra ha recorrido 78, 4 metros (vea la tabla anterior). En el segundo 5, la piedra ha recorrido 122, 5 metros (vea la tabla anterior). La distancia recorrida en ese segundo fue 122, 5 − 78, 4 m = 44, 1 m La velocidad promedio fue 44, 1 m 1 seg = 44, 1 m/seg Primera aproximación a la velocidad Esta es solamente una aproximación de la velocidad buscada.
• GRÁFICAS DE FUNCIONES
• Dada una función real de variable real, generalmente podemos hacer una representación gráfica que nos permita conocer mejor la función.

GRÁFICAS DE FUNCIONES

• Si tenemos la función f : A −→ B, con y = f(x), representamos en un sistema de ejes coordenados pares ordenados de números reales (x, y), donde y es la imagen de x (siendo x elemento de A). Por ejemplo, para representar la función f : R −→ R tal que f(x) = 2 − x 2 , consideramos una tabla de valores. De la tabla se obtienen varios pares ordenados de números reales que corresponden a puntos que van a estar en la gráfica de la función. Estos son: (−2, −2), (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, −2). De modo que en el sistema de ejes dibujamos esos puntos y luego trazamos una curva que los contenga. El dibujo resultante es un bosquejo de la gráfica de la función dada.
• Libro Calculo Vol1 (application/pdf)

LA ECUACIÓN DE LA RECTA

• Recuerde que la ecuación de una recta (no vertical) está dada por y = mx + b. El valor m se llama la pendiente de la recta y es una medida de la inclinación de la recta con respecto al eje x; el valor b se llama y−intersección y determina la ordenada del punto en que la recta corta al eje y. Si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a la recta entonces podemos calcular la pendiente mediante la fórmula m = y2 − y1 x2 − x1.
• y la intersección se puede calcular mediante b = y1 − mx1 o b = y2 − mx2. Por ejemplo si una recta ` contiene los puntos (−1, 3) y (2, 4), entonces ✲ ✻ θ b ` : y = mx + b ♣ ♣ (x1, y1) (x2, y2) m = y2 − y1 x2 − x1 y x qs s m = 4 − 3 2 − (−1) = 1 3 y b = 4 − 1 3 · 2 = 4 − 2 3 = 10 3 . De manera que la ecuación de la recta es y = 1 3 x + 10 3 .

LA ECUACIÓN DE LA RECTA

• Calculo (application/pdf)
• Calculo+2.0 (application/pdf)

La derivada

• El concepto al que nos hemos estado refiriendo es el que se llama derivada de una función en un punto y se puede interpretar como una razón de cambio instantáneo. As´ı, seg´un lo indicado antes la derivada de f(x) = 4, 9x 2 en x = 5 es 49. Esto se denota simbólicamente por f 0 (5) = 49 En general: si la derivada de una función y = f(x) en x = c es r se escribe f 0 (c) = r (Se lee: “efe prima de c es igual a r”).

El límite

• Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe limx→c f(x) = L.
• Propiedades de los límites Los límites especiales comentados anteriormente junto con las propiedades generales de los límites que vamos a dar aquí, nos permitirán calcular una gran cantidad de límites sin recurrir a tablas o a gráficas.
• FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios. Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x 2 + x − 6, en otras palabras: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x 2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x 2 + x − 6.
• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean idénticos “arriba” y “abajo” en la fracción. Por ejemplo, x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces x 2 + x − 6 x 2 − 4 = (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 2) = x + 3 x + 2

Folie 7

• Carculo+3.0 (application/pdf)

Cálculo de límites: métodos

• Primer método: factorizar y simplificar
• lim x→3 x 2 − 9 x 2 − x − 6 = lim x→3 (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 2) = lim x→3 x + 3 x + 2 = 3 + 3 3 + 2 = 6 5
• RACIONALIZACIÓN En una fracción algebraica que contenga radicales, racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerador. Normalmente el radical no desaparece del todo de la expresión sino que “cambia de lugar”.
• Segundo método: racionalizar y simplificar
• . Aquí lo más conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por √ x + 2. lim x→4 √ x − 2 x − 4 = lim x→4 ( √ x − 2)(√ x + 2) (x − 4)(√ x + 2) = lim x→4 x − 4 (x − 4)(√ x + 2) = lim x→4 1 √ x + 2 = 1 √ 4 + 2 = 1 4

Cálculo de límites: métodos

• Tercer método: combinación de los anteriores
• lim x→−2 x 2 + x − 2 √ 6 + x − 2
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)/(√ 6 + x + 2) ( √ 6 + x − 2)(√ 6 + x + 2)
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)(√ 6 + x + 2) /6 + x − 4
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)(√ 6 + x + 2)/ x + 2
• = lim x→−2 (x + 2)(x − 1)(√ 6 + x + 2)/ x + 2
• = lim x→−2 (x − 1)(√ 6 + x + 2)
• = −12

Cálculo de límites: métodos