Trabalho de álgebra

Determinante

• Compoentes: Bruno Costa, Júlia Loureiro e Victoria Costa

Ordem

• Primeira Ordem: Uma matriz de Ordem 1 apresenta apenas uma linha e uma coluna, portanto, o determinante é igual ao próprio elemento da matriz,
• Exemplos:
• det X = |8| = 8
• det Y = |-5| = 5
• Segunda Ordem: Uma matriz de Ordem 2 ou matriz 2x2, são aquelas que apresentam duas linhas e duas colunas.
• O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro multiplicando os valores constantes nas diagonais, uma principal e outra secundária.
• De seguida, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação.
• Terceira Ordem:A matrizes de Ordem 3 ou matriz 3x3, são aquelas que apresentam três linhas e três colunas e para calcular o determinante teremos que usar a Regra Sarrus
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• Bildunterschrift: 3 * 2 - 7 * 5 = 6 - 35 = -29

Regra de Sarrus

• A Regra de Sarrus consiste em repetir as duas primeiras colunas logo a seguir à terceira em seguida calculamos a multiplicação em diagonal. Para tanto, traçamos setas diagonais que facilitam o cálculo. As primeiras setas são traçadas da esquerda para a direita e correspondem à diagonal
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• Bildunterschrift: 1 * 5 * 8 = 40 | 2 * 6 * 2 = 24 | 3 * 2 * 5 = 30

Folie 4

• Depois calculamos a multiplicação do outro lado da diagonal. Assim, traçamos novas setas.
• Agora, as setas são traçadas da direita para a esquerda
• Depois somamos todos eles
• 40 + 24 + 30 = 94
• 32 + 30 + 30 = 92
• Subtraímos cada um desses resultados
• 94 - 92 = 2
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• Bildunterschrift: 2 * 2 * 8 = 32 | 1 * 6 * 5 = 30 | 3 * 5 * 2 = 30

Teorema de Jacobi

• Esse teorema diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada, facilitando os cálculos.
• Para aplicá-lo precisa seguir os seguintes passos
• - Formamos uma nova matriz somando uma linha com a outra
• - Depois tracaremos a diagonal principal e multiplicaremos seus valores e em seguida subitraimos os resultados, faremos o mesmo com a diagonal secundária (Da matriz original e da matriz nova formada)
• - Os determinantes serão iguais

Teorema de Laplace

• O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.
• Como Calcular?
• O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.
• Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:
• 1-Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;
• 2-Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

Cofator

• O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:
• Aij = (-1) i + j. Dij
• Onde
• Aij: cofator de um elemento aij
• i: linha onde se encontra o elemento
• j: coluna onde se encontra o elemento
• Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Regra de Chió

• A regra de Chió nos ajuda a construir uma matriz com determinante igual a uma matriz dada, entretanto com a ordem menor. Em uma linguagem matemática, a regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma ordem abaixo).
• Existe uma condição importante para a aplicação do processo da regra de Chió, sendo que o primeiro elemento da matriz, o elemento a11 deve ser igual a 1. Tendo isso, é possível aplicar o processo da regra de Chió de modo a obter uma matriz com ordem menor.
• A regra de Chió é dada da seguinte forma:
• • Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
• • Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.
• • Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.
• Vale ressaltar novamente que para que o determinante continue o mesmo, o a11 tem que ser igual a 1

Propriedades

• 1ª propriedade
• Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
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Folie 10

• 2ª propriedade
• Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
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Folie 11

• 3ª propriedade
• Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
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Folie 12

• 4ª propriedade
• Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
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Folie 13

• 5ª propriedade
• Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.
• det (k*A) = kn * det A

Folie 14

• 6ª propriedade
• O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
• det R = ps -- qr
• det Rt = ps – rq
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Folie 15

• 7ª propriedade
• Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

Folie 16

• 8ª propriedade
• O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
• Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
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Folie 17

• 9ª propriedade
• Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

Folie 18

• 10ª propriedade
• Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

Matriz Vandermonde

• É uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica.
• Uma matriz de Vandermonde é toda matriz que é quadrada de ordem n onde cada uma de suas colunas é formada por potências de mesma base, seus expoentes variam de 0 até n-1.

Fontes Bibliograficas

• Toda Matéria
• Brasil Escola
• Wikipedia