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• UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES ''UNIANDES''UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES ''UNIANDES''
• Tema: El concepto de derivada como limite y la representación gráfica de la derivada
• Nombre: Perla Dayana Cáceres Salinas
• Nivel : Primero Software /Calculo Diferencial
• 2020-2021

El estudio de continuidad en función

• La continuidad se define a partir del concepto de límite .
• Concepto
• La continuidad es una función continua gráficamente muy fácil de ver simplemente continua si somos capaces de dibujar las de un solo trazo viendo la gráfica de una función.
• Se dice que una función es continua en un intervalo decide del punto a al punto b la función en continuas.
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• Se dice que una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes tres condiciones:
• 1 Que el punto tenga imagen.
• Es decir, debemos verificar que la función esté definida en el punto . En otras palabras, que pertenezca al dominio de f(x).
• 2 Que exista el límite de la función en el punto .
• Si has estudiado límites, sabrás que el límite en el punto existe si tiene límites por la derecha y por la izquierda y estos valores son iguales.
• 3 Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
• Por último, es necesario que el valor de la imagen sea igual que el valor del límite.

Discontinuidades evitables

• Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.
• Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:
• Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.
• Se añade el punto a al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:
• La función f (x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 2. F(x) sería continua en R.
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El concepto de derivada como limite

• En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
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Derivada de una función

• Considerando la función ‘f’ definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto ‘a’.
• Si este límite existe, de lo contrario, la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniformemente acelerado en cinemática.
• Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su composición sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de teoremas anteriores de límites.
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Representación gráfica de la derivada

• Geométricamente, la derivada de una función f(x) en un punto dado a me da el pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a.
• La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos β.
• Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de tangencia.
• Por lo tanto uno puede concluir
• Tanβ=f’(a)
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Interpretación geométrica de derivada:

• Moviendo el punto A, se puede observar como va variando la pendiente de la recta tangente a la curva, simultáneamente el punto B va dejando un rastro asociado a este valor,que es precisamente la construcción de la función derivada. Observa la diferencia: el valor de la función derivada evaluado en un punto, coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, sin embargo la función derivada es otra función, que puede ser una curva, una recta o no existir.
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Bibliografía

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/continuidad-de-una-funcion.html
• https://www.sangakoo.com/es/temas/interpretacion-geometrica-de-la-derivada
• https://static1.squarespace.com/static/526e85b4e4b09c47421bd159/t/595758a93a0411886e24a5dd/1498896555374/T09CALRGOPTnew.pdf