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Ecuaciones Cuadráticas
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- 1Resolucion de ecuaciones cuadráticas, usando el metodo de factorizaciónIntroducción
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio) el resultado es una ecuación - 2Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática.Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
- 3La Propiedad Cero de la Multiplicación La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.Propiedad Cero de la Multiplicación
Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0. - 4Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0.Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.
- 5La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.Ejemplo
Resolver a en 5a2 + 15a = 0 - 65a2 + 15a = 0 El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación.5(a2 + 3a) = 0
5 es factor común de 5a2 y 15a. - 75a(a + 3) = 0 a es factor común un de a2 y 3a.En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.
- 8Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero.Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.
- 95a = 0 a + 3 = 0 Igualar cada factor a cero a + 3 – 3 = 0 – 3 a = 0 a = -3 a = 0 o a = -3Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.)
- 10Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.
- 11Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.Resolver r.
r2 – 5r + 6 = 0 - 12r2 – 3r – 2r + 6 = 0 Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.(r2 – 3r) – (2r – 6) = 0
Agrupar términos - 13r(r – 3) – 2(r – 3) = 0 Sacar los factores comunes de cada grupo(r – 3)(r – 2) = 0
Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor - 14r – 3 = 0 r – 2 = 0 Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0r = 3
r = 2
Resolver la ecuación - 15Solución r = 3 o r = 2 Las raíces de la ecuación original son 3 o 2La solución de esta ecuación es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarán en una expresión válida. (¿Escéptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuación original
- 16Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos asegurarnos que la ecuación este igualada a cero. Algunas veces esto requerirá de mover los términos para que quede 0 en un lado de la ecuación.Como un ejemplo, piensa en la ecuación 12x2 + 11x + 2 = 7. Podríamos factorizar el trinomio del lado izquierdo de la ecuación tal como esta, pero nos quedaría la ecuación (4x + 1)(3x + 2) = 7.
- 17¡Y es hasta aquí a donde podemos llegar! Esta nueva ecuación nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados.Igualar cada factor a 7 y luego resolver la ecuación tampoco nos ayuda; no estamos buscando los factores que son 7; sino los factores que, cuando se multiplican, son iguales a 7.
- 18Es decir, ¡no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicación cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuación!Para tener un cero en un lado de la ecuación, debemos restar 7 de ambos lados. Esto significa que nuestra ecuación cuadrática de 12x2 + 11x + 2 = 7 se convierte 12x2 + 11x – 5 = 0.
- 19Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar los valores de x.El ejemplo siguiente muestra cómo resolver una ecuación cuadrática donde ningún lado es originalmente igual a cero. (Nota que la secuencia de factorización ha sido acortada.)
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- aprende como resolver ecuaciones cuadráticas
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- leticia marcos
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