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Vigas. Fórmula

Abril G Lara Ocana Spanish

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Esfuerzos normales en vigas (materiales linealmente elásticos)
Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían en intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo- deformación y de las dimensiones de la sección transversal.
La relación esfuerzo-deformación más común encontrada en la ingeniería es la ecuación para un material linealmente elástico. Para esos materiales sustituimos la ley de Hooke para esfuerzo uniaxial (σ = Eε).
Cuando la curvatura es positiva, los esfuerzos σx son negativos (compresión) arriba de la superficie neutra y positivos (tensión) debajo de ella.
La resultante de los esfuerzos normales consiste en dos resultantes de esfuerzo: 1) una fuerza que actúa en la dirección x y 2) un par flexionante que actúa alrededor del eje z
Ubicación del eje neutro
Esta ecuación establece que el primer momento del área de la sección transversal, evaluado con respecto al eje z, es cero. En otras palabras, el eje z debe pasar por el centroide de la sección transversal.
El eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay una fuerza axial que actúe sobre la sección transversal.
Para obtener la primera ecuación de la estática, consideramos un elemento de área dA en la sección transversal.
Relación momento-curvatura
La segunda ecuación de la estática expresa que el momento resultante de los esfuerzos normales σx que actúan sobre la sección transversal es igual al momento flexionante M.
Debe ser igual al momento flexionante
O, al sustituir σx en la ecuación
conviene reescribir la ecuación M = κEI
donde
Esta integral es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje z (es decir, con respecto al eje neutro).
Se puede reacomodar la ecuación para expresar la curvatura.
Un momento flexionante positivo produce una curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce una curvatura negativa.
Fórmula de la flexión
Esta fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son directamente proporcionales al momento flexionante M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal.
Esfuerzos máximos en una sección transversal
Los esfuerzos normales máximos σ1 y σ2 (de la fórmula de la flexión) son
donde
Las cantidades S1 y S2 se conocen como módulos de sección del área de la sección transversal.
Secciones doblemente simétricas
Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje z así como al eje y, los esfuerzos máximos de tensión y compresión son numéricamente iguales
donde
Para una viga con sección transversal rectangular con ancho b y peralte h, el momento de inercia y el módulo de sección son
Para una sección transversal circular con diámetro d, estas propiedades son