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Práctica
Practica Nª1
MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
- La Company está tratando de encontrar la mejor manera de utilizar el exceso de capacidad en particular, 20000 horas –hombre. La compañía está considerando dos tipos de llantas: normal y radial. Cada llanta radial ocupa 2,5 horas –hombre y tiene una contribución de $20. Una llanta normal requiere 2 horas – hombre y contribuye con $16. El departamento de comercialización estima que pueden venderse hasta 6000 llantas radiales y 8000 llantas normales.
- Formúlese este como un problema de PL.
- Resolver por el método gráfico.
- Marque con un círculo los vértices de la gráfica.
- Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes.
- ¿Cuántas llantas de cada tipo deben producirse?
- Cuál es la contribución total.
SOLUCIÓN
a)
Datos para la formulación del modelo de PL
La company, exceso de capacidad 20000 horas/ hombre
Dos tipos de llantas:
Normal x1 = 2 horas/ hombre, $16
Radial x2 =2,5 horas/ hombre, y tiene una contribución $20
El departamento vende 6000 llantas radiales
El departamento vende 8000 llantas normales
Max Z=16x1 + 20x2
2x1 + 2,5x2 ≤ 2000
x1 ≤ 8000
x2 ≤ 6000
(x1, x2) ≥0
b)
c)
d)
SOLUCION FEV
SOLUCION FEV ADYACENTE
(0, 0)
(0, 6000) y (8000,0)
(0, 6000)
(2500, 6000) y (0,0)
e)
Normal x1 = 2500
Radial x2 =6000
f)
Max Z=16x1 + 20x1
=16(2500) + 20(6000)
=40000) + 120000
=160000
- La Cincinnati Chemical Company debe producir 10000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes X1, X2, y X3. X1, cuesta 8 dólares la libra, X2, 10 dólares la libra, y X3 11 dólares la libra. No pueden usarse más de 3000 libras de X1 y por lo menos deberán usarse 1500 libras de X2. Además, se requieren por lo menos 2000 libras de X3.
- Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear, a fin de reducir al mínimo el costo total de las 10000 libras.
- Calcúlese el costo total más bajo posible.
- ¿Hay libras sobrantes en el problema?
SOLUCIÓN
a)
Datos
Cantidad producida 10000 libras
x1 = número de libras de ingrediente 1
x2 = número de libras de ingrediente 2
x3 = número de libras de ingrediente 3
x1 , cuesta 8 dólares
x2 , cuesta 10 dólares
x3 , cuesta 11 dólares
No pueden usarse más de 3000 libras de x1
Por lo menos deberán usarse 1500 libras de x2
Por lo menos deberán usarse 2000 libras de x3
Función objetivo:
Minimizar costo de la dieta
Z= 8x1 +10x2 +11x3
Restricciones:
x1 +x2 +x3 =10000
Requerimientos para x1, x2 y x3
x1 ≤ 3000
x2 ≥ 1500
x3 ≥ 200
Min Z= 8x1 +10x2 +11x3
s.a.
x1 +x2 +x3 =10000
x1 ≤ 3000
x2 ≥ 1500
x3 ≥ 2000
(x1, x2 ,x3 ) ≥ 0
Estandarizando el problema PL
Min Z= 8x1 +10x2 +11x3 +0x4 +0x5 +0x6 +M +M
x1 +x2 +x3 +x4 +0 +0 +0 +0 =10000
x1 +x5 +0 +0 +0 =3000
x2 -x6 +ax1 +0 = 1500
x3 -x7 +ax2 = 200
- Supongamos que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas. Supongamos que un dieta normal requiere cuando menos 6000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta $6 y $21 el queso, ¿Qué cantidad de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero?
- Use el método gráfico para resolver este problema.
- Marque con un círculo los vértices de la gráfica.
- Para cada solución FEV, identifique el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisfaga.
- Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes.
- Calcule Z para cada solución FEV. Use esta información para identificar la solución óptima.
SOLUCIÓN
Datos
2 alimentos
Pan = x1 número de kilogramos
Queso = x2 número de kilogramos
Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas
Un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas
Dieta normal requiere cuando menos 6000 calorías
200 gramos de proteínas diariamente
Pan cuesta $6
Queso cuesta $21
Min Z= 6x1 +21x2
s.a.
2000x1 +4000x2 ≥ 6000
50x1 +200x2 ≥ 200
(x1 ,x2) ≥ 0
Min Z= 6x1 +21x2
x1 +2x2 =3
x1 +4x2 = 4
X1= 2
X2= ½
Min Z= 6(2) +21(1/2)
=12 +10,5
Min Z= 22,5
- Considere el siguiente problema.
Max Z = 3 x1 + 5 x2
s.a.
x1 ≤ 4
2 x2 ≤ 12
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
(x1, x2 ) ≥ 0
- Use el método gráfico para resolver este problema.
- Marque con un círculo los vértices de la gráfica.
- Para cada solución FEV, identifique el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisfaga.
- Para cada solución EFV, identifique sus soluciones FEV adyacentes.
- Calcule Z para cada solución FEV. Use esta información para identificar la solución óptima.
SOLUCIÓN
a) Max Z = 3 x1 + 5x2 + 0x3+ 0x4 + 0x5
x1 +x3 +0 +0 = 4
2 x2 +0 +x4 +0 = 12
3x1 + 2x2 +0 +0 +x5 = 18
SIB
x3 =4
x4 =12
x5 =18
4 1 0 1 0 0
-1/3 (6 3 0 0 -1 1)
2 0 0 1 1/3 -1/3
Cj
→
3
5
0
0
0
CB
Base
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
X3
4
1
0
1
0
0
0
X4
12
0
2
0
1
0
6
0
X5
18
3
2
0
0
1
9
Z = 0
-3
-5
0
0
0
0
X3
4
1
0
1
0
0
4
5
X2
6
0
1
0
1/2
0
0
X5
6
3
0
0
-1
1
2
Z = 30
-3
0
0
5/2
0
0
X3
2
0
0
1
1/3
-1/3
5
X2
6
0
1
0
½
0
3
X1
2
1
0
0
-1/6
0
Z = 36
0
0
0
3/2
1
Max Z = 36
x1 = 2
x2 = 6