Sin título

REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO

EL PLANO COMPLEJO

el plano complejo es una forma de visualizar y ordenar el conjunto de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. El eje de abscisas también recibe el nombre de eje real y el eje de ordenadas el nombre de eje imaginario. Asimismo, el conjunto de los números complejos se puede representar en su forma polar o trigonométrica, formando así un plano polar, en el que el valor absoluto, módulo o magnitud representa la longitud de un vector y su argumento es equivalente al ángulo del mencionado vector, excepto el complejo 0 que no tiene argumento.

TIPOS DE CONJUNTOS DEL PLANO COMPLEJO

CONJUNTO CERRADO

Un conjunto F se llama cerrado si el complemento de F: Fc = { z/ z no está en F } es abierto.

PROPIEDADES

1. La intersección de una familia finita de conjuntos cerrados es

2. un conjunto cerrado.

La unión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.

3. El conjunto {} y el C de todos los números complejos son conjuntos cerrados, porque sus respectivos complementos son abiertos.

CONJUNTO ABIERTO

Un conjunto H de números complejos se llama 'conjunto abierto si el conjunto es igual a su interior. O bien si H = H0 .

En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H

PROPIEDADES

1. El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z0 un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z0 |, 1 - |z0| }; la vecindad Vr(z0 ) = {z/ |z- z0 | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z0 es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.

2. El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto.