Polos

El diseño exitoso de un sistema de control no puede depender solamente de la selección de valores de los parámetros del sistema

Los ceros de la función de transferencia también son importantes para la estabilidad

La adición de polos y ceros a las funciones de transferencia de lazo y en lazo cerrado tienen efectos variantes en la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado

Adición de un polo en la función de transferencia de la trayectoria directa: Sistemas con realimentación unitaria

El efecto de la inductancia del motor es equivalente a la adición de un polo en s=-3008 a la función de transferencia de trayectoria directa

El sistema puede llegar a convertirse en inestable

Inclina la parte compleja del lugar geométrico de las raíces del sistema de segundo orden hacia el semiplano derecho del plano s

Efecto general de la adición de un polo y su localización relativa hacia una función de transferencia de trayectoria directa de un sistema con realimentación unitaria

Función de transferencia en lazo cerrado

La adición de un polo a una función de transferencia de trayectoria directa tiene generalmente el efecto de incrementar el sobrepaso máximo del sistema en lazo cerrado

El polo adicionado incrementa el tiempo de crecimiento de la respuesta al escalón y reduce el ancho de banda.

Adición de un polo en la función de transferencia en lazo cerrado

1+Tps se adiciona a la TF.

Respuesta a la adición de polos:

Sobrepaso: adicionar un polo a la función de transferencia en lazo cerrado tiene justamente el efecto opuesto a aquel de adicionar un polo a la función de transferencia de la trayectoria directa.

Adición de un cero en la función de transferencia en lazo cerrado

Adicionar un cero disminuye el tiempo de levantamiento e incrementa el sobrepaso máximo de la respuesta al escalón.

Asúmase que la respuesta de salida que corresponde al primer término del segundo miembro de la ecuación es y1(t). Respuesta total:

Mientras que Tz se aproxima al infinito, el sobrepaso máximo parece también aproximarse al infinito y el sistema es aun estable mientras que el sobretiro sea finito y z sea positivo.

Adición de un cero en la función de transferencia de trayectoria directa: sistemas con realimentación unitaria

Función de transferencia en lazo cerrado:

El denominador de M(s) contiene a Tz que mejora el amortiguamiento o reduce el sobrepaso máximo. 1+Tzs aparece en el numerador de M(s) e incrementa el sobrepaso máximo.

Aun cuando las raíces de la ecuación característica se utilizan generalmente para estudiar el amortiguamiento relativo y la estabilidad relativa de sistemas de control lineales, los ceros de la TF no deben sobrepasarse en sus efectos en el desempeño transitorio del sistema.

Polos dominantes de las funciones de transferencia

Para análisis y diseño, es importante clasificar los polos que tienen un efecto dominando en la respuesta transitoria.

Aseguran que la TF del controlador puede realizarse a través de componentes físicos.

Polos dominantes

Polos insignificantes

En el diseño se pueden usar los polos dominantes para controlar el desempeño dinámico del sistema.

Los polos cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo del plano s dan crecimiento a la respuesta transitoria que decaerá relativamente despacio, mientras que los polos que están lejos del eje corresponden a una respuesta de decaimiento rápido.

Si la magnitud de la parte real de un polo es de por lo menos de 5 a 10 veces que el polo dominante de un par de polos complejos dominantes, el polo puede enunciarse como insignificante en cuanto a la respuesta transitoria

Factor de amortiguamiento relativo

Para sistemas de orden mayor, no se puede utilizar el factor de amortiguamiento relativo z y la frecuencia natural de no amortiguamiento wn, si las dinámicas del sistema pueden representarse con exactitud con un par de polos dominantes complejos conjugados, z y wn, se pueden utilizar para indicar la dinámica de la respuesta transitoria.

Forma apropiada para despreciar los polos insignificantes considerando la respuesta en estado estable

Se razona que |s/10|<<1 cuando el valor absoluto de s es mucho menor a 10, debido a la naturaleza dominante de los polos complejos. El termino puede despreciarse y la ecuación se aproxima:

Ejemplo para una entrada de escalón unitario

El polo en -10 puede despreciarse desde el punto de vista de transferencia. Se expresa como:

Tendrá un valor final unitario cuando se aplique una entrada escalón unitario y en cambio si simplemente se desecha el termino, se tendrá un valor de estado estable de 5.